Funktionsschar+Berührpunkte

18.09.2004, 16:38

Croven

Funktionsschar+Berührpunkte

Aufgabe:

Untersuche das Schaubild Kt der Funktion:
$\begin{eqnarray*} ft(x)=\frac{8}{x} * (\sqrt{x}-t) \end{eqnarray*}$ , mit t element R+

- Für welchen Wert von t berührt die Kurve Kt, die Gerade $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac {1}{4} * x \end{eqnarray*}$

Hab schon die 2 Bedingungen rausgefunden, die sind:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{\sqrt{x}*x} + \frac{8t}{x^{2}}= \frac {1}{4} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac {8}{\sqrt{x}} - \frac {8t}{x}=\frac {1}{4} * x \end{eqnarray*}$

So, ich würde jetzt beide Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ umformen, danach gleichsetzen und nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ umformen, problem is nur, ich bekomm für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ das hier raus, kann das einer mal nachprüfen Big Laugh

hab nämlich so die vermutung, dass mein Ergebnis nicht ganz richtig is

$\begin{eqnarray*} t= \frac{1}{\sqrt{x} * x} \end{eqnarray*}$

also ansatz usw müsste richtig sein, hab nur probleme bei der Termumformung.. wenn einer weiß wie es geht, wäre ich ihm dankbar die rechenschritte mit zu posten, damit ich es nachvollziehen kann

gruß Dennis

18.09.2004, 19:51

hummma

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Also der ansatzt stimmt. Du bekommst dann ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten, das du mit ´Gleichsetztungsverfahren oder additionsverfahren loesen kannst.

19.09.2004, 13:42

Croven

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Gibts denn hier keinen, der für T einen wert raushat ? bzw der mit dir rechnung erklärt ? also eher gesagt die Term umformung ? ich weiß ja selber, das ich gleichsetzen muss usw..aber Was kommt raus Big Laugh

gruß Dennis Big Laugh

19.09.2004, 13:50

Mathespezialschüler

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Ok, ich hatte was probiert, aber das klappte nicht. Ich machs nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac {8}{\sqrt{x}} - \frac {8t}{x}=\frac {1}{4}\cdot x\ \ |\ \cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\sqrt{x} - 8t=\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8\sqrt{x}=\frac{1}{4}x^2+8t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x=\frac{x^4}{16} + 4x^2t + 64t^2 \end{eqnarray*}$

Und das kann man nich so einfach lösen ... verwirrt

19.09.2004, 14:50

therisen

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$\begin{eqnarray*} I)\ 8\,{\frac {\sqrt {x}-t}{x}}=1/4\,x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II)\ -8\,{\frac {\sqrt {x}-t}{{x}^{2}}}+4\,{x}^{-3/2}=1/4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => x=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => t=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

19.09.2004, 14:53

Mathespezialschüler

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Also hast du die beiden Gleichungen addiert und dann?? verwirrt

19.09.2004, 15:56

Croven

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bei deinem letzten schritt, müsste man ja dann eigentlch durch X teilen, was man ja nicht darf..
haste die andere gleichung nach X aufgelöst und dann bei die 8x eingesetzt ? smile

19.09.2004, 17:00

Croven

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so, ich hab mich mal dran probiert, sag mir mal einer wo der fehler ist Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{8 * x ^{1/2}}{x} - \frac{8t}{x} = \frac{1}{4}*x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | * x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8* \sqrt{x} - 8*t = 1/4 * x^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | +8t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8*\sqrt{x}=1/4 * x^{2}+ 8*t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64x= 1/16*x^{4} + 64*t^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : 64 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 1/1024*x^{4} + t^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{\sqrt{x} * x} + \frac{8t}{x^{2}}=1/4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | * x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 * \sqrt{x} + 8t=1/4*x^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |-8t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 * \sqrt{x}=1/4*x^{2} - 8t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : (-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}=-1/16 * x^{2} + 2t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1/256*x^{4}+4t^{2} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt gleich setze komme ich aber nicht auf das gewünsche ergebnis...wo isn der fehler ?

19.09.2004, 20:11

Mathespezialschüler

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Du hast bei beidem den gleichen Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2\neq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

!!!

19.09.2004, 21:06

Croven

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wo denn ?

welche stelle meinst du.zudem versteh ich deine letzten schritt nicht..
du hast mir schon das ding gelöst, nur weiß ich nicht, wie man vom vorletzen auf den letzten schritt kommt

19.09.2004, 21:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Croven
$\begin{eqnarray*} 8*\sqrt{x}=1/4 * x^{2}+ 8*t \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64x= 1/16*x^{4} + 64*t^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} | : 64 \end{eqnarray*}$

Da is der Fehler!! Wenn du die Gleichung quadrierst, kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} (8\sqrt{x})^2=(\frac{1}{4}x^2+ 8t)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64x=\frac{1}{16}x^4+2\cdot 8t\cdot \frac{1}{4}x^2+ (8t)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 64x=\frac{1}{16}x^4+4tx^2+ 64t^2 \end{eqnarray*}$

!!!

19.09.2004, 21:27

Croven

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muss da ne Klammer DRUM ? hmmm, ja dann ist klar das es ne binomische Formel ist, aber trotzdem..wusste ich garnicht...thX ! smile

19.09.2004, 21:29

Mathespezialschüler

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Natürlich muss da ne Klammer drum.

Wenn du ne Gleichung hast

$\begin{eqnarray*} c=a+b \end{eqnarray*}$

dann ist a+b ja eine Zahl (nämlich c) die für sich quadriert werden muss!!

$\begin{eqnarray*} c^2=(a+b)^2 \end{eqnarray*}$

19.09.2004, 23:58

Croven

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so, wenn ich die gleichsetze dann KOMM ICH NICHT AUF DAS ERGEBNIS, VERDAMMT *ARRRRRG*
kann mir die einer gleichsetzen und alle rechenschritte mitschreiben...sowas nerviges...

20.09.2004, 09:12

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Nimm Gleichung I von "Therisen" , erweitere sie mit 1/x und ersetzte

ersetzte den ganzen Term 8[(sqrtx - t)/x] !!.

KLeine Rechnung und es kommt x³ = 64 raus. bzw. x = 4

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