Funktion 3. Grades

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Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Tag zusammen... bin neu hier. Wink
Ich weiß, das Thema schlummerte schon in der Vergangenheit, aber angesichts meiner Hausaufgaben zu Montag könnte ich doch noch einmal eure Hilfe gebrauchen. Gott Augenzwinkern
Mein Lehrer findet diese Aufgabe hier richtig klasse:

Zitat:
Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind und den Graphen der Funktion g mit g(x)=4/x berühren.


Mein Lösungsansatz:
n=3 Punktsymmetrie zu (0;0) und Berührung mit g(x)=4/x
; ;
Bedingungen: f(0)=0 => c=0
=> f(x)=ax³+bx

So, und weil ja jetzt der Funktionswert und die Steigung gleich sein müssen, habe ich jetzt g'(x) mit f'(x) gleichgesetzt, wie es auch hier gemacht wurde (g'(x)=-8/x²).



<=>
Dann teil ich das ganze noch durch 3 und dann hab ich schließlich a. a ist ja nicht ganz zu ermitteln wegen b. Dann setz ich das ganze in f(x) ein und hab dann die Funktionsschar? Das kann es doch nicht gewesen sein, oder? Zumal mein Lehrer sagte, er habe dran getüftelt. verwirrt

Wenn ich Fehler gemacht habe, dann bitte ich euch um Hilfe. Gott *fg* Muss diese Hausaufgabe wie gesagt am Montag abegeben und es wird eigentlich erwartet, dass wir das schaffen. traurig

Schöne Grüße und danke im vorraus,
Utopia

Hab noch was gefunden...

Zitat:
Sie berührt den Graphen g(x). Das heißt für den Berührpunkt B(x1/y1) gilt f(x1)=g(x1) und f\'(x1)=g\'(x1)


Quelle: http://www.chemieonline.de/forum/showthr...8&mode=threaded

siehe unten
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Board!!
Bitte für neue Aufgaben auch neue Themen aufmachen!!
Ansonsten, wenn du neu bist, kannst dich ja hier mal vorstellen, wenn du Lust hast Augenzwinkern
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) =ax³+bx berührt g(x)=4/x, a<>0

f verläuft entweder im zweiten und vierten Quadranten, oder im
ersten und dritten.
Im Falle vom zweiten und vierten Quadranten (a<0) können f und g
sich nicht berühren weil g NUR im 1. und 3. anzufinden ist.

Im anderen Falle, a>0 können sie sich NUR schneiden, nicht berühren,
weil die Steigungsverhältnisse das anders nicht zulassen.


Augenzwinkern
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Also, das erscheint mir ja alles logisch, aber soll die Aufgabe damit nun ein Fake sein? X( *fg* Wie gemein! Der Schnittpunkt selbst gilt dann aber als Berührpunkt, oder?

Edit 1: Es ist auf also auf das Grenzwertverhalten zurückzuführen?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Schnittpunkt ist kein Berührpunkt. Berührpunkt heißt es nur
dann, wenn der Schnittwinkel 0° beträgt.

g' ist im Ersten überall negativ, das passende f' hingegen überall
positiv. Entsprechendes für den 3. Quadranten.

Augenzwinkern
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Okay *g*
*hihi* ist ja mal lustig. Jetzt versteh ich auch, warum mein Lehrer die so geschickt fand. Allerdings meinte er, dass selbst er sich 3 mal verrechnet hätte => Irreführung!!!! :P

@Poff: Ich danke dir! Gott Gott
Werd dann wohl f(x)=g(x) setzen, um den Schnittpunkt zu ermitteln und eine allgemeine Gleichung aufzustellen.

Vielen Dank nochmal!
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist hiermit?

http://www.matheboard.de/plotter.php?f=4...-5%3A5&y=-5%3A5

Welche Bedingung hab ich übersehen?

Gruß
Anirahtak
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verwirrt ihr mich...

..das heißt Poff hat unrecht *fg*
..das heißt ich muss so wie Poff argumentieren, dass es eben so wie hier ist!!? dass a<0 sein muss.. aber wie komm ich nun auf den lösungsweg? Ist mein Lösungsweg da oben dann richtig?! Der ist ja schließlich negativ...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Poff hat Unrecht, wie du siehst. Wahrscheinlich hat er an Funktionen gedacht, die die Form haben. Deine Funktion kann auch durch alle 4 Quadranten gehen.
Also das oben hab ich mir noch nich genau angeguckt, ich weiß nur, dass du ne falsche Ableitung hast!





Ich guck mir das oben mal an. ... Ne, das is es noch nich. So wie dus umgestellt hast, hilfts dir nicht weiter. Der erste Ansatz is aber schonmal richtig. Der zweite ist f(x)=g(x). Aber ich komm irgendwie grad auch nich weiter. verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das heißt ich hab unrecht, war geschlampt, hatte mögliche
Berührpunkte sogar schon ermittelt, dann aber wegen eines simplen
Plot's verworfen ... ;-)

es muss gelten b² = -16a
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

*fg* Die Ableitung hatte ich zuerst auch, aber hab bei einer anderen Ableitung nachgeguckt, die ich auch mal in der Klausur hatte und da hab ich das anders gemacht, aber auch richtig... mh... wie auch immer.
Kann ich a und b denn überhaupt genauer definieren oder kann ich das nur sagen a<0 und b>!§$"&...?

Poff du Loser! ;P Schäm dich! smile ) Neeein... ich lerne aus deinem Gedankengang *hehe*

edit: keine Doppelposts bitte (Mazze)
Edit 2: Sorry
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
g' ist im Ersten überall negativ, das passende f' hingegen überall
positiv


das passende f' hingegen überall positiv

das war natürlich ein völliger Schmarrn, wie du an f' eigentlich
problemlos sehen kannst, selbst *kopfschüttel*

f' =3*ax^2 +b

und das kann je nach b eben hin und her ...

.
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff:
Zitat:
b²=-16a


Wie hast du das denn nun ausgerechnet? Ich wollte vorher irgendwann mal den Schnittpunkt noch mit c ausrechnen, da hatte ich noch nicht die Bedingung gestellt, dass c=0 sein muss und da hab ich für c²=16a gehabt... hast du jetzt f'(x)=g'(x) gesetzt oder f'(x)=g(x).... boah ich mach der Pisa-Studie jetzt alle Ehre.... *fg* fühl mich dumm und unbegabt, aber das is wichtig...
wäre echt dankbar über einen Lösungsweg zum nachvollziehen...

Edit 1: Okay, wenn ich nun f'(x)=g'(x) nach b auflöse, dann bekomme ich für b raus

Wenn ich das nun in f(x) einsetze, dann bekomm ich
heraus... Damit hätte ich eine Kurvenschar (also alle Funktionen, wie in der Aufgabe verlangt)....?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... ganz 'einfach', ich hatte die Post sogar schon geschrieben,
als ich es dann Potzblitz wegen eines blöden Plotz's 'verwarf',
bzw zu bequem war genauer zu überprüfen was denn nun
wirklich los ist ...


Schneide f mit g und minimiere die 4 enstehenden Schnittstellen,
sodass jeweils 2 zusammenfallen. Das liefert die Bedingung.
Ableitung und Co wird dazu garnicht gebraucht.

a*x^3 + b*x = 4/x

... 'liefert' das gepostete Ergebnis, hier gut umsetzbar
.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Schneide f mit g und minimiere die 4 enstehenden Schnittstellen,
sodass jeweils 2 zusammenfallen.


So hab ichs auch gemacht, aber ich habs dann auch mal mit den Ableitungen probiert, also sozusagen:

Schneide f' mit g' und minimiere die 4 enstehenden Schnittstellen,
sodass jeweils 2 zusammenfallen.
Dann bekomm ich aber b²=48a verwirrt


Zitat:
Original von Utopia
Edit 1: Okay, wenn ich nun f'(x)=g'(x) nach b auflöse, dann bekomme ich für b raus



Das stimmt nicht!

f'(x)=g'(x):



Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

also.... brr... -2ax³-4x kann es eh nicht sein... sieht nicht so aus wie von Anirahtak... ich bin total verwirrt....

@Poff... und ich versteh kein stück... warum jetzt auf einmal wieder die schnittstellen?! Und warum 4 Schnittstellen?

Edit:
Zitat:
Original von Mathespezialschüler

Zitat:
Original von Utopia
Edit 1: Okay, wenn ich nun f'(x)=g'(x) nach b auflöse, dann bekomme ich für b raus



Das stimmt nicht!

f'(x)=g'(x):





*fg* mensch das hatte ich auch, auch wenns langsam unglaubbar ist, aber ich will das immer vereinfachen und dann hatte ich eben den mist... ist auch egal...

traurig traurig traurig traurig traurig traurig X(
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

b²=-16a ist korrekt, das hab ich überprüft.

Warum jetzt wieder die Schnittstellen ??
... nun weil ich das von Anfang an soo hatte.

Wollte dann an einem 'Plot' überprüfen ob das nicht etwa
doch Schnittstellen anstatt Berührpunkte sein könnten ...

den Rest kennst ja .... *gg*


Die gesuchte Fkt lautet:

f(x) =a*x^3+ sqrt(-16a)*x
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen dank schonmal... Gott das hört sich gut an Augenzwinkern Aber wie kommst du denn nun auf -16a... ? unglücklich
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Utopia,

jetzt mal ganz langsam und Schritt für Schritt:

Also du hast zwei Funktionen:
und


Willst du die Schnittpunkte, musst du die Funktionen gleichsetzen:




Das ist eine Gleichung vierten Grads, hat also möglicherweise 4 Lösungen.
Da es nur gerade Potenzen gibt, kannst du Subsituieren und auf die quadratische Gleichung die du erhälst kannst du die Lösungsformel anwenden.

Mach mal so weit und melde dich dann wieder.

Gruß
Anirahtak
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zu den (4) Schnittstellen:

Du schneidest ganz allgemein beide Funktionen.
Es enstehen max 4 Schnittstellen. An einer groben Graphenskizze
kannst du erkennen dass jeweils 2 Berührpunkte zu einem
zusammenfallen MÜSSEN, damit aus den beiden Schittpunkten
ein einziger Berührpunkt werden kann.

Diese Erkenntnis musst du dann nur noch algebraisch umsetzen ...
... das ist alles.

Augenzwinkern
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Boah... so.. *fg* jetzt mal ganz locker... also ich kann alles nachvollziehen... ich hab nur das prob mit der pq-Formel... von subsituieren hab ich noch nie was von gehört, aber soll auch egal sein... hab einfach x²=y gesetzt

ich stelle f(x)=g(x) um... hab eine pq-Formel... rechne die aus und bekomme x.... hab ich ja auch... das x trage ich nun in F'(x)=g'(x) ein, aber ich bekomme nicht -16a raus... das is mein prob... den rest versteh ich inzwischen..
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das x²=y setzen nennt man substituieren.

Zitat:
Original von Utopia
das x trage ich nun in F'(x)=g'(x) ein, aber ich bekomme nicht -16a raus... das is mein prob... den rest versteh ich inzwischen..

Das sollst du gar nicht machen, das hat nämlich keiner gesagt!

Zitat:
Original von Utopia
ich stelle f(x)=g(x) um... hab eine pq-Formel... rechne die aus und bekomme x.... hab ich ja auch...

Zeig mal wirklich nur bis zu diesem Schritt und nicht weiter!! Und dann sagen wir, wies weiter geht.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

du musst die 4 Schnittstellen ermitteln ...
f' und Co wird in dieser LösungsVariante nicht benötigt
.
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

*fg* x=((-b plusminus Wurzel aus (b²+4))/2a)^(1/2)

und das ist doch garantiert falsch... traurig

Edit... nein ich bekomme bei einmal raus x²=-1 plusminus Wurzel 5 (also nicht lösbar)
und die andere seite hab ich noch nicht

Edit 2: nein zurück... fehler *fg*
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, is leider falsch. Jetzt machen wir mal ganz langsam.

f(x)=g(x)











und jetzt wende mal die pq- bzw. abc-Formel an!
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

da hab ich dann y1/2=-b/(2a) plusminus Wurzel aus (b²/(4a²)+4
also hab ich da wenn ich das umstelle einmal:




...

und daraus dann nochmal die PQ-Formel

Die andere seite der 1. PQ-Formel dann:

...



Woah mir langts... ich befass mich zu lange damit... komm mir schon als problemfall vor... gebt mir einfach den lösungsweg, dann bin ich glücklich *fg*
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Utopia
da hab ich dann y1/2=-b/(2a) plusminus Wurzel aus (b²/(4a²)+4

Fast richtig, es muss sein:



Was du danach gemacht hast, is mir völlig unklar, aber egal.
Damit du für x nur zwei Lösungen bekommst, musst du für y eine Lösung bekommen.

Jetzt stell aus dieser Formel mal eine Bedingung auf, sodass du für y genau ein Lösung bekommst! Also dass !!
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

ich sag ja... Pisa-Studie... ich unter Genies kommt eh nicht gut *fg*

Ne Bedingung für das Ergebnis PQ-Formel?
Boah, ihr seid echt geduldig....
Hilfe
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Setz doch mal in die Gleichung



y1 und y2 ein!!
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich... da kommt aber nur müll raus... 8a=-2b²+8
oder 8a-8=-2b²
das kann ich noch lustig durch 2 teilen, aber das ergibt leider kein -16a...
immerhin hab ich schon zwischendurch auf einer seite stehen b²+16a... stell dir mal vor, dann würd ich das umstellen, dann hätte ich doch die lösung.. nur eine seite muss ja dann 0 ergeben und das tut sie bei mir leider nicht




Edit:

woah ich bin total verwirrt... dasganze hab ich vor zwei tagen wie gesagt mit f(x)=ax³+bx²+cx gemacht und da hatte ich ja b=0 und für c²=-16a rausbekommen... warum will es also jetzt nicht so recht traurig

ich hatte nur bei der PQ-Formel eben keine 16a da stehen sondern 4/a
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Schreoib mal nich nur das, was du am Ende rausbekommst hin, sondern auch wie du drauf kommst, dann sehn wir deine Fehler! Am besten mit latex.
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe meinen letzten Beitrag... hätte ich in der PQ-Formel da nicht 16a stehen sondern 4/a dann hätte ich keinen Fehler.. frag mich nicht...
Na ja, ich schreib das jetzt von vor 2 tagen auf... scheint zu stimmen... ersetze c mit b, was auch logisch ist und dann hat sich das... ich danke euch trotzdem über alles... smile auch wenn beide seiten gerade an mir verzweifeln *fg*
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Utopia
...
warum will es also jetzt nicht so recht traurig
...


Verwirrt und warum es nicht recht will ??
Das liegt daran, dass du dich nicht auf diesen Weg hier einlässt
und statt dessen versuchst das mit anderen Teilen die hier
nicht hingehören zu vermischen ...


Der Weg der 'Minimierung der Anzahl der Schnittpunkte' ist,
SOFERN er rechenbar ist, bei solchen Berührungsaufgaben
meist die erste Wahl.

.
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

siehe oben.. smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also es wär schon schön, wenn du uns deine Umformungen in Form von Gleichungen zeigen würdest!!!
Ich persönlich sehe nicht ein, dir hier über 2 Stunden oder mehr zu helfen ohne dass du mal ein bißchen mehr Eigeninitiative zeigst!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Utopia,

deine Assoziation zu deiner anderen Aufgabe und deine Folgerung
der Übertragbarkeit nur weil ähnliches rauskommt kann ich allerdings
nicht verstehen ...


@Mathespezialschüler,
dein Vorwurf ist nicht korrekt, es zwingt dich keiner das zu tun,
also darfst dich auch nicht beschweren wenn du's dennoch machst.

Rechte lassen sich daraus keine herleiten.


Augenzwinkern
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... ich hab das wie gesagt vor 2 Tagen gemacht. Ich habe da aber wie gesagt auch noch mit c gerechnet.
f(x)=ax³+cx (vorher halt f(x)=ax³+bx²+cx ... hab die Punktsymmetrie nicht berücksichtigt)
g(x)=4/x
da hatte ich auch schon die Idee F(x)=g(x)

wenn ich das nun gleichsetze, dann bekomm ich da raus

Wende ich die PQ-Formel also mit meinem 4/a an, dann bekomm ich einmal

und

heraus.
Das habe ich umgestellt und gleichgesetzt, so wie Mathespezielschüler es mir auch gerade gesagt hat (da allerdings mit b bzw 16a und nicht 4/a).
Als ich das gleichgesetz hab, habe ich da folgendes herausbekommen:












Ich denke, dass das das ist, was ihr gemacht habt. Ich hatte aber gerade mit 16a anstelle von 4/a etwas total anderes raus.... das hier müsste im prinzip das Selbe sein... Prob:irgendwo ist ein Vorzeichenfehler... schätze ich
es tut mir leid, wenn ich euch gerade verärgert habe... ich habe die Hausaufgaben seit Mittwoch auf... ich bin seit Mittwoch total verfahren... hab auch noch jede Menge zu tun... tut mir leid....

Ein großes danke an euch... Gott



Edit: hab den Vorzeichenfehler entdeckt... es muss heißen


\\EDIT by sommer87: Latex verbessert: ² wird im latex in manchen browsern nicht richtig dargestellt... Augenzwinkern
für das Wurzelzeichen muss im latex \sqrt{x} eingetragen werden
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Utopia
...

und

...



Hilfe, deine ganze Rechnerei brauchst doch garnicht machen :-oo

Die Wurzeltherme sind doch in sich gleich ...

die beiden rechten Seiten können doch NUR dann übereinstimmen
wenn die Wurzel NULL ist. Und die Wurzel ist genau dann Null,
wenn das was unter der Wurzel steht Null ist.

folglich muss:
c²/4a² + 4/a =0 sein . Mit 4a² multipliziert ergibt das:

c²+16a = 0 bzw c² = -16a . Augenzwinkern

.
Utopia Auf diesen Beitrag antworten »

*fg* ja sag das doch...
aber ich versteh euer 16a immernoch nicht unter der Wurzel.... soll jetzt aber auch egal sein... und egal was ich für a einsetze, das schneidet immer g(x)? stimmt doch nicht oder? Wenn ich so im Plotter mal guck a darf nicht -4 sein... a muss dann wohl -1 sein, oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

c²/4a² + 4/a = c²/4a² + 4/a * 4a/4a = c²/4a² + 16a/4a² =

c²/4a² + 4/a = (c²+16a)/4a²

damit ist (c²+16a)/4a² ebenfalls der Wurzelradikand ....

.
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