Erwartungswerte

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Soap Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswerte
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel, welcher auf 3 Seiten rot, auf 2 Seiten weiss und auf einer Seite schwarz ist, bei n Würfen nie zweimal diesselbe Farbe hintereinander zu werfen?

b) Zeige, dass der Erwartungswert der Runs (maximaler Lauf mit gleicher Farbe, Bsp: RRRGSR hat 4 Runs, 1 mit Länge 3, die anderen mit Länge 1) bei n Würfen gleich 1+(n-1)*p ist (p ist die in (a) berechnete Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Werfen, also 22/36=11/18 ).

geschockt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne mich leider mit solchen Runs, Markow-Ketten usw. gar nicht aus. Ich habe mir bei a) aber Folgendes überlegt.

Zunächst ein paar Bezeichnungen. Für ganzzahliges n>0 sei

Wahrscheinlichkeit, daß beim n-maligen Würfeln niemals zweimal hintereinander dieselbe Farbe erscheint

Wahrscheinlichkeit, daß eine Wurffolge, wie unter beschrieben, mit rot aufhört
Wahrscheinlichkeit, daß eine Wurffolge, wie unter beschrieben, mit weiß aufhört
Wahrscheinlichkeit, daß eine Wurffolge, wie unter beschrieben, mit schwarz aufhört.

Dann gilt




Weiter findet man die folgenden Rekursionen:





Man kann nämlich, ohne die Bedingung "keine gleichen Farben nacheinander" zu verletzen, "rot" nur anfügen, wenn zuvor "weiß" oder "schwarz" dran war (analog die andern).

Jetzt habe ich zunächst mit Hilfe der Rekursion auf zurückgeführt. Mit der so gewonnenen Beziehung und den Rekursionen habe ich dann auf zurückgeführt. Und schließlich denselben Vorgang noch einmal für .

Ich habe das folgende lineare Gleichungssystem in erhalten:





Mein CAS hat nach aufgelöst:





Das gibt:



beziehungsweise



Damit kann man die rekursiv berechnen, wenn man noch direkt bestimmt.


Na, ob das wohl stimmt ...
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