Wendepunkt

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LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkt
Hey :-) ich hab da ein Problem und zwar muss ich bis morgen diese Aufgaben lösen und komm voll nicht weiter...wäre nett wenn mir jemand helfen könnte!
VIELEN DANK im voraus !!!


Aufgabe 1

Also, gegeben ist die Funktion f(x)= (4x) : (x²-4)
a) Zeigen Sie, dass der Punkt W(0/0) Wendepunkt des Graphen von f ist. Geben sie die Gleichung der zugehörigen Wendetangenete an.

Ich ahb gedacht da bestimme ich zunächste die 1. Ableitung per Quotientenregel das ist dann bei mir (-4x²-16) : (x²-4)² und dann die 2. Ableitung die ich = 0 setze.

0 = [-8x(x2-4)²-4x(x²-4) (-4x²-16)] : [x²-4)^4]

Abe rirgendwie glaub ich dei 1. Ableitung war schon falsch....
das kann ja nicht sein so megalange Terme die kaum lösbar sind...zumindest für mich ;-)

b) Die Parallelen zur Wendetangente berühren den Gaphen von f in B1 und B2. Brechnen Sie B1 und B2, geben sie die Glecihungen der Tangente in B1 und B2 an.


Hilfe



Aufgabe 2

ein zur y-AChse symetrisches Dreieck hat den Ursprung 0 als eine Ecke. Die beiden weiteren Ecken P1 und P2 leigen auf dem Graphen von f mit f(x) = 1: (1+x²)
Für welche Lage von P1 ist der Flächen inhalt es Dreiecks extrmal?
Um welche Art von Extremum handelt es sich dabei?

Hier schwirren nur Fragezeichen in meinem Kopf herum....argh....



Wäöre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte, ich wär euch sehr dankbar!!!!
Croven Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also, du willst zeigen, dass der wendepunkt durch U(0|0) geht.
Dazu brauchst du 2 Bedingungen

Notwendige Bedingung:


Hinreichende Bedingung:
und


Edit:

Ich hab nochmal die für dich gemacht:



und jetzt leitest du weiter nach der Regel ab:





Hier wird die 2. Ableitung ein wenig schwieriger, weil du noch die Kettenregel benutzen musst. Also erstmal u(x) ableiten, dann v(x) mit hilfe der Kettenregel ableiten und dann alles in die Quotientenregel einsetzen...wenn dir die 3. Ableitung zu schwierig wird, kannste noch mit dem Vorzeichenwechsel arbeiten, aber das sehen wir später..
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Antwort!!!!
So wie ich das gesehen habe, hattest du die gleiche 1.Ableitung wie ich *yippie*

also dann versuch ich nochmal f"(x)

f"(x)= (-4x²-16)' (x²-4)² - ((x²-4)²)' (-4x²-16)
: (x²-4)^4

= -8x(x²-4)² - (2(x²-4)2x) (-4x²-16)
: (x²-4)^4

= -8x(x²-4)² - 4x (x²-4) (-4x²-16)
: (x²-4)^4

und das dann = 0 setzen

0 = -8x(x²-4)² - 4x (x²-4) (-4x²-16)
: (x²-4)^4

und da komm ich nicht weiter....
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt
f'(x) = - 4*(x^2+4)/(x^2-4)^2
f''(x) = 8*x*(x^2+12)/(x^2-4)^3
f'''(x) = -24*(x^4+24*x^2+16)/(x^2-4)^4

a)
somit ist f''(0) =0 und f'''(0) <> 0 und damit W(0|x) Wendepunkt

m_Wendestelle = f'(0) = -16/16 = -1 und damit

y = -1*x Gl. der Wendetangente


b)
f'(x) = - 4*(x^2+4)/(x^2-4)^2 = -1

ergibt:
x1 = -2*3^(1/2)
x2 = 2*3^(1/2)

f(x1) =-sqrt(3)
f(x2) = sqrt(3)

B1(-2*3^(1/2)|-sqrt(3))
B2(2*3^(1/2)|sqrt(3))

t1: (y-(-sqrt(3))) / (x-(-2*3^(1/2)) = -1
t2: (y-(sqrt(3))) / (x-(2*3^(1/2)) = -1



2)

die Dreieckshöhe h bei der Grundlinie 2x (x>0) ist:
h= f(x) = 1/(1+x²) und

F_dreieck = x*1/(1+x²)

F_dreieck' = (1-x^2)/(1+x^2)^2

1-x^2 = 0 liefert x = 1 (und x=-1)

Damit sind die DreiecksPunkte P1(-1|f(-1) = P1(-1|1/2)
und P2(1|f(1)) = P2(1|1/2)

und die Fläche ist:
F_dreieck = 1/2

Die Fläche ist ein Maximum, dieweil mit h gegen Null,
bzw x gegen Null jeweils NULL als Fläche erreicht wird.


... weils heute Sonntag ist


Augenzwinkern
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Hezlichen Dank aber wie kommst du darauf... verwirrt

& ist die 1. Ableitung das Gleiche, was wir raus hatten nur umgeformt oder so?



f(x1) =-sqrt(3)
f(x2) = sqrt(3) -> Was sit sqrt?
Croven Auf diesen Beitrag antworten »




gruß Dennis...

@ poff...einfach hardcore Big Laugh (musste einfach mal sein)
 
 
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Danke jetzt weiß ich schon mal was das heißt aber ich kann den Rechenweg z.B bei den 2. und 3. Ableitung immer noch nicht nachvollziehen so oft ichs auch probiere...:P


:rolleyes:
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

sqrt = SquareRoot = Quadratwurzel


f'' stimmt überein, allso wird auch f' stimmen ...

ja probiere mal f''' hinzubekommen, weißt ja was rauskommen muss


Augenzwinkern
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Gott ich versuch die ganze Zeit auf die gleiche Ableitung bei f"(x) zu kommen.... traurig

*schäm* wenn ich schon daran scheiter...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

dein f''

f''(x) =( -8x(x²-4)² - 4x (x²-4) (-4x²-16) ) : (x²-4)^4


jetzt klammerst mal im Zähler (x²-4) aus, kürzt das gegen eine
(x²-4) Potenz in deinem Nenner,

dann rechnest den Zähler komplett aus und vergleichst den mit
dem von mir ...

.
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also

ich klammer zunächst x²-4 aus dann hab ich:
f"(x)= (x²-4) (-8x(x²-4) - 4x(-4x²-16)
: (x²-4)^4

Kürzen:
f"(x)= -8x(x²-4) - 4x(-4x²-16)
: (x²-4)^3

ausmultiplizieren

f"(x)= -8x³+32x + 16x³ +64x
: (x²-4)^4

f"(x)= 8x³+96x
: (x²-4)^4

aaaah und dann 8x ausklammern und ich hab das gleiche

also
f"(x)= 8x(x²+12)
: (x²-4)^4


Super Danke hab ich also die 2. Ableitung YEAH! *dichganzdolldrückt*;-)

Jetzt versuch ich mal ob ich auf W(0/0) komme, wenn ich das gleich 0 setze....wenn nicht meld ich mich gleich nochmal...ok das tu ich auch so wegen dem folgendem *g*
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »
Ich Hasse Mathe :((
Ich bin echt zu blöd dafür...

8x(x²+12)
-------------- = 0
(x²-4)³

<=> 8x(x²+12) = (x²-4)³

<=>8x³ + 96x = (x²-4)³

argh und weiter gehts nicht....wie kreig ich das ^3 da weg um irgendwie auf ein normales x zu kommen.... verwirrt
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »
*zu doof bin*
@hamma ich glaube dir gerne, dass du einer der Klügsten bist Augenzwinkern ich aber scheinbar nicht - also jetzt nochmal für langsame lol
ich muss es ja schließlih verstehen....wo hast du dieses 0 *( x²-4)³ her?
Das war vohin noch auf der rehten Seite meiner gleichung aber ohne 0* und wo ist das andere hinveschwunden?
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst den Term vereinfachen und hast ihn mit (x²-4)³ multipliziert

8x(x²+12)
-------------- = 0
(x²-4)³


Dann steht da:


8x(x²+12) * (x²-4)³
---------------------------- = 0 *(x²-4)³ =0 <-- darauf hat sich das bezogen
(x²-4)³



8x(x²+12)=0
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!
ok und dann ist entweder 8x = 0 oder x²+12 = 0
also x=0 beim ersten und das 2. geht nicht.
Wenn ich diesen Wert in die Ausgansgleichung einsetzt muss dann wieder 0 rauskommen.

Prima Big Laugh Dann versuch ich mich mal an der Wendetangentengleichung die müsste ich glaub cih hinkreigen...Augenzwinkern bis gleich....
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Argh...ich muss ja erst das hinreichende Kriterium überpüfen, also ob f''' ungleich 0 ist dann muss ich ja die 3. acuh erstmal bestimmen...
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

wobei ich kann doch auch einfach einen Vorzeichenwechsel machen indem ich 2 Punkte in f"(x) einsetzte, oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

nur zur Info, dass du nicht mit falschem f'' weiterechnest
da hast plötzlich im Nenner wieder die 4. Potenz stehen ...


Wendepunkt, was macht ihr ???

den brauchst doch nicht ermitteln, der ist doch angegeben :--oo
der muss NUR als ein solcher verifiziert werden.

Im Klartext, es muss geprüft werden ob f''(Wendestelle)=0
und f'''(Wendestelle)<>0
die Stelle selbst ist mit x=0 ja SCHON bekannt :-oo . Augenzwinkern

.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt
ich versuche es mal:
die erste ableitung lautet:

f(x)´= (-4x^2 - 16)/N^2

N ist dein nenner, der bleibt ja immer gleich(, nur je höher die ableitung, desto potenter der nenner!)

wenn du dann den gesuchten punkt, also hier den wendepunkt P(0/0) einsetzt, erhälst du den anstieg der tangente ....

und da der wendepunkt (0/0) ist :

y = k*x mit k = -1 (oben mit x = 0)

und
f´´(x) = 2x(x^2 - 4)(x^2 - 12) = 0
mit einer lösung x = 0 wie gefragt,
(muß noch mit der dritten ableitung verifiziert werden)

die tangente siehe oben.

zu 2) schicke ich dir eine skizze, so sie dabei ist,
daraus kannst du ersehen: F(dreieck) = 1/2*y*x
für y = f(x) eingesetzt und differenziert wird wohl ein glseitiges )glschenkeliges) dreieck liefern

ich hoffe es passt
werner

soll besser heissen, mit P(x1,y1) auf der kurve

f=(1/2)*x1*y1
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut bleiben wir bei der ersten Aufgabe.

Ich habe f'(x) und f"(x), den Wendepunkt bestimmt und mit VZW bewisen. Jetzt fehlt die Wendepunktangentenlgeichung.

y = mx + n
0 = m*0 + n
n =0

aber wenn ich dann x,y und n einsetzte kommt für m auch wieder 0 raus...strange...



@wernerin danke, d.h bei der nächsten Ableitung wär der Nennen einmal potenter sozusagen ;-) und man muss immer nur den Zählen neu ableiten?!?!?! Das wär schon um einiges lecihter....lol

y = k*x mit k = -1 (oben mit x = 0) --> kapier ich nicht... k =-1?

@Poff heißt zeige, dass W(0/0) der wEndepunkt ist, nciht das ich das nachrechnen muss mit notwenigem UND hinreichendem Kriterium? k, egal das habich jetz beides.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LK_Loser
...
@Poff heißt zeige, dass W(0/0) der wEndepunkt ist, nciht das ich das nachrechnen muss mit notwenigem UND hinreichendem Kriterium? k, egal das habich jetz beides.



in der Aufgabenstellung,
wird doch der Wendepunkt W(0|0) schon EXPLIZIT benannt,
folglich braucht der nicht mehr errechnet sondern nur noch
überprüft werden. Das machst du indem du 'einfach'

f''(an der Wendestelle) errechnest und prüfst ob das Null ist
ebenso prüfst du ob f''' an dieser Stelle ungleich Null ist.
(kannst auch auf Vorzeichenwechsel von f'' überprüfen)


weiter ...
wie ermittelst du die Steigung eines Graphen an einer
BELIEBIGEN Stelle ???

wie ermittelst du folglich die Steigung an der Wendestelle ??

.
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Steigung ist die Ableitung....argh...

also
f'(x) = -4(0)²-16
unglücklich 0²-4)²

also....-16 ist die Steigung???

Und damit n = trotzdem 0

also w(x) = -16x ????
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

shit das wurde in einen smiley umbenantn...sollte heißen

f'(x) = -4(0)²-16
: (0²-4)²

also m = f'(x) = -16
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... RICHTIG rechnen !!!

es kommt -1 raus
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Oooops hab das quadrat übersehen also hab jetzt acuh -1 un d damit w(x) = -x raus, ja?!!!

Gut, dann jetzt zu Teil b....
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

...wobei ich wiedermal keine Ahnung habe wie ihr da uf dei Lösung kamt...

Ledier muss ich gegen 10 auch offline gehen, checke aber morgen früh auch nochmal ob noch jemand was gepostet hat.

Also, noch bin ich da....;-)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

steht doch da ...

es wird gefordert
f'(von unbekannt) == Steigung_Wendestelle = -1

und nun 'unbekannt' errechnen ...
das ergibt eine Gl. vierten Grades ohne lineares und kubisches
Glied und lässt sich damit standargemäss lösen ...

einfach aufstellen, rumrechnen, lösen :-oooo


Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LK_Loser
Nun gut bleiben wir bei der ersten Aufgabe.

Ich habe f'(x) und f"(x), den Wendepunkt bestimmt und mit VZW bewisen. Jetzt fehlt die Wendepunktangentenlgeichung.

y = mx + n
0 = m*0 + n
n =0

aber wenn ich dann x,y und n einsetzte kommt für m auch wieder 0 raus...strange...



@wernerin danke, d.h bei der nächsten Ableitung wär der Nennen einmal potenter sozusagen ;-) und man muss immer nur den Zählen neu ableiten?!?!?! Das wär schon um einiges lecihter....lol

y = k*x mit k = -1 (oben mit x = 0) --> kapier ich nicht... k =-1?

@Poff heißt zeige, dass W(0/0) der wEndepunkt ist, nciht das ich das nachrechnen muss mit notwenigem UND hinreichendem Kriterium? k, egal das habich jetz beides.




die gerade geht durch P(0,0) --> n= 0 ( das n gibt an, wo die gerade die y - achse schneidet)

y = mx
und dein m ist unser k = -1, das du wie du gesehen hast, erhälst, wenn du x = 0 in die erste ableitung, die per definitionem die steigung der tangente im punkt P angibt, einsetzt

damit lautet deine tangente y = - x

werner

das mit der potenz im nenner solltest du nicht ZU wörtlich nehmen!
das ist nicht so, wie du meinst, da gibts eine vorschrift, die ihr sicher in mathe gelernt habt, deine vermutung ist leider falsch!


nur nebenbei: auch wenn explizit steht, man zeige, dass (0/0) ein wendepunkt ist, dann muß man das meiner meinung schon - oder gerade dann - nachweisen!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt
zu deiner 2. aufgabe:
wie aus der skizze ersichtlich:

f(x) = y*x
(du kannst bei der bestimmung der extremwerte die konstanten faktoren weglassen, weil ja anschließend die 1. ableitung = 0 gesetzt wird)
mit y = 1/(1+x^2)

ergibt so was ähnliches wie

f(x) = x/(1+ x^2)

davon - wie gehabt - das extremum bestimmen und fläche ausrechnen
werner

(x = +/- 1, also ein gleichschenkeliges dreieck, wenns denn stimmt)
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
...
nur nebenbei: auch wenn explizit steht, man zeige, dass (0/0) ein wendepunkt ist, dann muß man das meiner meinung schon - oder gerade dann - nachweisen!


steht IRGENDWO was anderes ??

dazu muss man den WP aber NICHT erneut ermitteln :-oo

.
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure zahlreichen Antworten. Aufgabe 1 a) hab ich soweit kapiert...mit der b und der 2. komm ich noch nicht klar aber ich muss jetzt eh zur Schule :P mal sehen ob die anderen das hingekriegt haben lol ich kann ja schlecht bei den andern Aufgaben sagen ich hab die Lösung abr kein Rechenweg und kapiers nicht loooool

Also DANKE an alle, die mir geholfen haben :-))


Mathe LK sucks Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... du, das war auch etwas schwach, dass du 4h gebraucht hast
einzig für Teil a) und das MIT Hilfe.

Das sollte dir etwas zu denken geben . Augenzwinkern

.
LK_Loser Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem daran ist, dass mir die Lösung absolut nix bringt ohne Rechenweg...aber jetzt haben wir beide Aufgaben in der Schule (innerhalb einer Schulstunde = 45 Minuten ;-)) geklärt und ich denke es auch kapiert zu haben. Jedoch glaub ich, dass ich selber wieder nicht darauf komme beim nächsten Mal unglücklich ...na ja Übung macht den Meister Augenzwinkern lol
Schon blöd wenn man Mathe LK nehmen muss unglücklich

Wink Thx @ all Big Laugh

:]
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