Ebenenschar im gesamten Raum |
| 19.09.2004, 21:51 | Selli | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ebenenschar im gesamten Raum ich habe mich letztens folgendes gefragt: Existiert eine Ebenenschar der Form Et mit Et: a(t)*x1+b(t)*x2+c(t)*x3+d(t)= 0, wobei a,b,c,d ganzrationale Funktionen sind, die jeden Punkt des dreidimensionalen Raumes enthält? Mithilfe trigonometrischer Funktionen kann man solch eine Ebenenschar konstruieren, doch geht das auch mit ganzrationalen Funktionen? Über ein Beispiel oder ein Gegenbeweis würde ich mich sehr freuen. |
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| 20.09.2004, 00:02 | Franz Hösisch | Auf diesen Beitrag antworten » |
Setze E_t: 0*x + 0*y + 1*z + d(t) = 0, d(t) = t, dann enthält die Ebenenschar E_t für t in R jeden Punkt des Raumes, und die Ebenen sind sogar alle parallel. Falls für t nur ein endliches Intervall erlaubt ist, z.B. [0, 1], dann ist eine Funktion wie hilfreich. |
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| 20.09.2004, 00:03 | Franz Hösisch | Auf diesen Beitrag antworten » |
ups... das letzgenannte Intervall muss natürlich offen sein: (0, 1). |
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| 21.09.2004, 19:36 | Selli | Auf diesen Beitrag antworten » |
Cool, danke. In deinem Beispiel sind jetzt alle Ebenen der Schar parallel zueinander, gibt es auch ein Beipiel, in dem das nicht der Fall ist? Ich habe mir halt damals überlegt, dass man solch eine Ebeneschar mit hilfe von sinus und cosinus konstruiere kann. Et: x+sin(t)*y+cos(t)*z=0 Ein Normalenvektorvon Et hat die Koordinaten (0/sin(t)/cos(t)). Die Spitzen aller normalenvektoren dieser Form bilden somit einen Kreis (mit der Länge 1 und in der yz-Ebene liegend) uns somit bilden die Ebenen praktisch eine "Kugel mit unendlichem Radius" und jeder Punkt ist erfasst. Ich hoffe, es ist alles verständlich. |
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| 21.09.2004, 20:04 | Hanno Fer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, ich habe dein Beispiel verstanden. So gut, dass ich dir sagen kann: Deine Ebene muss so sein: E_t: 0*x + sin(t)*y + cos(t)*z = 0. 
Mit der schon genannten Funktion d(t) = (x-1/2)/(x(x-1)) für t in (0, 1), sowie d(0) = 1, d(1) = -1, und der Funktion e(t) = 1 für t in (0, 1), e(0) = e(1) = 0, setze E_t: 0*x + e(t)*y + d(t)*z = 0, t in [0, 1]. Die Ebenenschar ist dieselbe wie deine für t in [0, pi), nur anders parametrisiert. Trotz der Unstetigkeit von d und e hängt der normalisierte Normalenvektor von E_t stetig von t ab. |
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| 21.09.2004, 20:22 | Selli | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar, danke vielmals |
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