Abstand Punkt - Ebene

20.09.2004, 16:18	soko	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt - Ebene Hallo zusammen! Hab hier ne Aufgabe zur Vektorrechnung und habe auch eine Lösung dazu , nur scheint mir diese sehr umfangreich zu sein und ich wollte mal wissen ob es einen einfachere und schnellere Lösungsweg dazu gibt. Gegeben sind die Gerade g mit $\begin{eqnarray} g = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und der Punkt P mit den Koordinaten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wo liegt der Punkt Q , der aus dem Punkt P durch spiegelung an der Geraden g entsteht? Nun habe ich einen beliebigen Punkt auf der Geraden gewählt , was ja wäre $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 3+\beta \\ 2 \\ -4+2\beta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Strecke $\begin{eqnarray} \vec{PR} \end{eqnarray}$ muß ja senkrecht auf der geraden stehen , also ist ja $\begin{eqnarray} \vec{PR} \end{eqnarray}$ mal $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ ( Richtungsvektor der Geraden) $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2,4 \end{eqnarray}$ . Diesen Wert setzte ich dann ein für die Strecke $\begin{eqnarray} \vec{PR} \end{eqnarray}$ und für den beliebigen Punkt den ich gewählt habe. Dann rechne ich noch $\begin{eqnarray} BELIEBIGER PUNKT \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \vec{PR} \end{eqnarray}$ und erhalte dann die Koordinaten von dem Punkt der gesucht ist , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 7,8 \\ 4 \\ -0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe Ihr konntet meiner Rechnung einigermaßen folgen und könnt mir evt. einen Tip dazu geben.
20.09.2004, 18:01	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Punkt - Ebene Ich kann deiner Rechnung folgen und das Ergebnis stimmt auch. Du könntest auch so vorgehen: Stelle die Normalebene auf g durch den Punkt P auf, berechne den Durchstoßpunkt D Gerade durch Ebene. $\begin{eqnarray} \vec{PD} =\vec{DQ} \end{eqnarray}$

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