Vektoren: Berechnung Flächeninhalt Dreieck

09.03.2007, 12:00

TenFormer

Vektoren: Berechnung Flächeninhalt Dreieck

Hallo miteinander,

Habe folgendes Problem:

Zitat:

Berechnen Sie im Dreieck ABC [A(9/-6/0), B(6/-2/1), C(7/-6/1)] den Flächeninhalt mit Hilfe dreier verschiedener Formeln.

Ich hab jetzt irgendwie keine Ahnung was gemeint ist, Ich kenne nur eine Formel. Und bei der bin Ich mir unsicher wie ICh sie anwenden soll:

$\begin{eqnarray*} R³: AD = \mid \vec{a} \cdot \vec{b} \mid = \sqrt{\begin{vmatrix} y_a & y_b \\ z_a & z_b \end{vmatrix}^{2} + \begin{vmatrix} x_a & x_b \\ z_a & z_b \end{vmatrix}^{2} + \begin{vmatrix} x_a & x_b \\ y_a & y_b \end{vmatrix}^{2}} \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Hat vielleicht jemand einen Link wo das ganze nochmal gut erklärt ist? Oder könnte sich vielleicht sogar jemand die Mühe machen einen Lösungsweg zu schreiben (für eine der 3 Möglichkeiten). Was mich bei dieser Formel vor allem irritiert ist, was Ich unter der Wurzel machen soll. Ich versteh die Schreibweise nicht ganz, ist klar der Betrag von ... zum quadrat, aber was geschieht innerhalb der Betragszeichen? Multiplikation auf beiden Reihen? Und dann was mit den beiden Reihen?

Danke im Voraus für die Mühe
Mfg
Max

09.03.2007, 12:14

uwe-b

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Also ich kenn noch ne andere Formel:

$\begin{eqnarray*} A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{AB} \times \vec{AC}| \end{eqnarray*}$ .

Denn: $\begin{eqnarray*} | \vec{AB} \times \vec{AC}| \end{eqnarray*}$ ist der Flächeninhalt das von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ aufgespannte Parallelogramm.

Edit: Mit $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) gemeint. $\begin{eqnarray*} | \vec{x} | = \end{eqnarray*}$ Betrag des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ .

Weiter kann man deine Formel mit meiner herleiten, denn das Kreuzprodukt kann mit der Determinante bestimmen

09.03.2007, 13:43

mYthos

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Eine andere - recht praktische - Formel ist

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{|a|^2|b|^2 - (a.b)^2} \end{eqnarray*}$

wobei a, b die Vektoren sind, die das Dreieck aufspannen.

Und drittens gibt es auch die Heron'sche Flächenformel:

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{eqnarray*}$

s .. u/2 (der halbe Umfang), a, b, c sind hier die Seitenlängen.

mY+

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