MacLaurin Reihe

20.09.2004, 21:03

blackearth

MacLaurin Reihe

Zitat:

Entwickeln Sie folgende Funktion in eine MacLaurin Reihe
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Eine Mac Laurin Reihe kann man sich ja so:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f'(0)+\frac{x^2}{2!}f''(0)+\frac{x^3}{3!}f'''(0)+...+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+... \end{eqnarray*}$
zusammen"bauen" (wobei f^(n) die nte Ableitung von f sein soll)

so ... nun mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\ \ \ f(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\ \ \ f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\ \ \ f''(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\ \ \ f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\frac{x}{1!}\cdot 0+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdot 0+... \end{eqnarray*}$
Daraus hab ich dann diesen Schluss gezogen:
$\begin{eqnarray*} P(x)\ zu\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

Wie oft leitet man in der Regel bei solchen Aufgaben ab ?
Ist das Ergebnis richtig ? (habs mal plotten lassen sieht gut aus)
Wird auch ein Konvergenzbereich erwartet ?
Wenn ja wie lautet bei dieser Aufgabe a_n (um den Konvergenzradius zu berechnen) ?

20.09.2004, 21:12

Mathespezialschüler

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RE: MacLaurin Reihe

Zitat:

Original von blackearth
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\ \ \ f(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\ \ \ f(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\ \ \ f(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\ \ \ f(0)=0 \end{eqnarray*}$

Das kannst du so aber nicht schreiben! Du müsstest rechts immer schreiben:
$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von blackearth
Wie oft leitet man in der Regel bei solchen Aufgaben ab ?
Ist das Ergebnis richtig ? (habs mal plotten lassen sieht gut aus)

Ja, das Ergebnis ist richtig. Man leitet so oft ab, bis man eine Regel findet. Das war dann aber absolut noch nicht alles. Es reicht nicht, es für die ersten 5,12 oder auch 100000 zu zeigen. Du musst es schon für alle zeigen. Das macht man dann sogut wie immer mit vollständiger Induktion!

20.09.2004, 21:30

Philipp-ER

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Hi.
Falls Untersuchung der Konvergenz erwartet wird, reicht es nicht aus, zu zeigen, dass die von dir gefundene Reihe für gewisse x konvergiert, denn dadurch ist noch lange nicht gesichert, dass sie auch tatsächlich gegen f konvergiert. Vielmehr musst du eine Restgliedabschätzung machen.
Ist dir eigentlich die Exponentialreihe nicht bekannt? In diesem Fall kannst du nämlich dein Ergebnis sehr viel einfacher gewinnen.

20.09.2004, 23:52

blackearth

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Zitat:

Das kannst du so aber nicht schreiben! Du müsstest rechts immer schreiben:...

War auch meine Absicht das so zu schreiben ... copy paste fehler halt Augenzwinkern

Zitat:

Ist dir eigentlich die Exponentialreihe nicht bekannt? In diesem Fall kannst du nämlich dein Ergebnis sehr viel einfacher gewinnen.

Nicht direkt. Wie sähe das denn aus die einfachere Lösungsvariante ?
*also die Exponentialreihe müsste ja 1+x/1!+...+x^n/n! lauten

Gruß Tobi

21.09.2004, 13:38

Philipp-ER

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Na, berechne doch mal einfach durch gliedweise Addition von
$\begin{eqnarray*} e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ einen Reihenausdruck für deine Funktion, das ist nicht schwer und liefert dir gerade dein Ergebnis.
Ob der Weg hier erlaubt ist, weiß ich nicht.
Ich warne nochmal davor, aus der Konvergenz der Reihe die Konvergenz gegen f zu schließen.
Du brauchst eine Restgliedabschätzung.

21.09.2004, 16:52

blackearth

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Also wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe dann brauch ich keine vollständige Induktion, sondern muss das Restglied abschätzen und wenn man beim Restglied den Übergang n -> Unendlich betrachtet und es gegen 0 strebt ist alles bewiesen ?

*Hab gelesen das man alternativ auch einfach den Konvergenzradius berechnen kann und somit die Konvergenz beweist

dazu setzte ich z=x^2 und bestimme zunächste den Konvergenzradius für z:
$\begin{eqnarray*} r_z=\lim_{n \to \infty } |\frac{(2n+2)!}{(2n)!}|=\lim_{n \to \infty } |\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!}|=\lim_{n \to \infty } |\frac{4n^2+6n+2}{1}|=\lim_{n \to \infty } |\frac{4+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}|=|\frac{4}{0}|=|\infty |=\infty \end{eqnarray*}$
Der Konvergenzradius für x ergibt sich jetzt zu
$\begin{eqnarray*} r_x=|\sqrt{\infty }|=\infty \end{eqnarray*}$
Das heist das die Potenzreihe für alle x Konvergiert ... ist dies Beweis genug ?

Gruß Tobi

21.09.2004, 20:23

Philipp-ER

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Hi.
Den Konvergenzradius zu bestimmen reicht nicht, denn damit zeigst du nicht, dass die Potenzreihe tatsächlich gegen f(x) konvergiert. Es gibt zum Beispiel eine Funktion, deren einzige Nullstelle bei 0 ist und bei der die Reihe, die man erhält, wenn man versucht, die Maclraurinreihe zu entwickeln, jedoch auf ganz R gegen 0, also sicher nicht gegen die Funktion, konvergiert. Die Reihe konvergiert also durchaus auf ganz R, aber nirgendwo gegen die Funktion, die sie darstellen soll.
Was erhältst du denn bei dieser Reihe als Darstellung für das Langrange-Restglied (es reicht, die Restglieder gerader Ordnung zu betrachten, da ja zuvor auch nur gerade Potenzen von x aufgetreten sind)? Mir ist es gerade zu stressig, in diesem Forum etwas vorzurechnen, wenn ich keinen Formeleditor habe.
Ich werde dir dann helfen, zu zeigen, dass das Restglied für jedes x gegen 0 strebt (es gibt da einen praktischen Satz, den man hier wahrscheinlich anwenden kann). Erst damit ist gann gezeigt, dass deine Potenzreihe auf ganz R eine Entwicklung der Funktion darstellt.

21.09.2004, 21:53

blackearth

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Jippi der Formeleditor funktioniert wohl wieder ...

Die Lagrangesche Form zur bestimmung des Restgliedes ist ja:

$\begin{eqnarray*} R_n = \frac{x^{n+1}*f^{(n+1)}(\Theta*x)}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(\Theta*x) \end{eqnarray*}$ die (n+1)te Ableitung von f sein soll (mit $\begin{eqnarray*} x=\Theta*x \end{eqnarray*}$ )und $\begin{eqnarray*} 0<\Theta<1 \end{eqnarray*}$

das hieße also ich muss für das Restglied auch eine Reihe aufstellen ?

So in etwa ?

$\begin{eqnarray*} R_0=\frac{x}{2}*(e^{\Theta*x}-e^{-\Theta*x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_1=\frac{x^2}{4}*(e^{\Theta*x}+e^{-\Theta*x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_2=\frac{x^3}{12}*(e^{\Theta*x}-e^{-\Theta*x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_3=\frac{x^4}{48}*(e^{\Theta*x}+e^{-\Theta*x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_4=\frac{x^5}{240}*(e^{\Theta*x}-e^{-\Theta*x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_5=\frac{x^6}{1440}*(e^{\Theta*x}+e^{-(\Theta*x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_n=\frac{x^{n+1}*(e^{\Theta*x}+e^{-\Theta*x}*(-1)^{n+1})}{(n+1)!*2} \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich mache das wie immer viel zu kompliziert unglücklich

21.09.2004, 22:25

Philipp-ER

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Richtig (bis auf ein paar Tippfehler), aber es reicht wie gesagt, nur gerade Restglieder zu betrachten, da auch nur gerade Summanden auftreten.
Es gilt also
$\begin{eqnarray*} R_n=\frac{e^{\theta x}+e^{-\theta x}}{2(2n)!}x^{2n} \end{eqnarray*}$
Das Abzuschätzen dürfte nicht so einfach sein, nun gibt es aber den Satz:
Das Restglied strebt sicher dann gegen 0 auf einem kompaktem Intervall I, wenn es Konstanten C und a gibt, so dass für alle x aus I und für alle n aus N gilt:
$\begin{eqnarray*} |f^{(n)|}(x)\leq a\cdot C^n \end{eqnarray*}$
Sei x aus festem [-b,b]
Unsere n. Ableitung lautet:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{e^x+(-1)^ne^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$
Dann sollte man jetzt zeigen können, dass man tatsächlich solche a und C finden kann.
Es gilt nämlich:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{e^x+(-1)^ne^{-x}}{2}\leq \frac{e^x+e^{-x}}{2}\leq \frac{e^b+e^{b}}{2}= e^b=e^b\cdot 1^n \end{eqnarray*}$
Also tut a=e^b und C=1 den Job und da das Restglied also nach dem vorigen Satz auf jedem kompakten (nullpunktsymmetrischen) Intervall konvergiert (b kann ja beliebig gewählt werden) konvergiert es auf ganz R.
Ich hoffe, jemand korrigiert mich, wenn meine Schlüsse falsch sind, aber ich denke, so geht es.
Damit dürfte dann gezeigt sein, dass die Reihe auf ganz R tatsächlich gegen f(x) konvergiert.

22.09.2004, 01:00

blackearth

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Da tuen sich wieder Fragen auf Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} |f^{(n)}(x)|\leq a\cdot C^n \end{eqnarray*}$
Meinst du so ? Fals das Betragsstriche sein sollen wieso hast du die in der weiteren Rechnung weggelassen ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^x+(-1)^ne^{-x}}{2}\leq \frac{e^x+e^{-x}}{2}\leq \frac{e^b+e^{b}}{2} \end{eqnarray*}$

Wie du hierauf gekommen bist kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Das lässt sich immer anwenden um konvergenz zu beweisen ? Also zum beispiel auch bei Taylerreihen etc. ?

*Hat dieser Satz auch nen Namen ?
Vieleicht könnt ich mir dann die eine oder andere Frage selber beantworten.
smile

Gruß Tobi

22.09.2004, 18:48

Philipp-ER

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Hi.
Ja, ich habe mich vertippt, ich meinte es so, wie du es geschrieben hast.
Da e^x stets positiv ist, mache ich den Ausdruck größer, indem ich das für ungerade n auftretende - durch ein + ersetze. Das ist der 1. Schritt.
Außerdem folgt aus der Monotonie der Exponentialfunktion, dass für alle x aus [-b,b] gilt:
e^x<=e^b
und da mit x aus -x aus [-b,b] ist, kann man beide Summanden im Zähler durch e^b abschätzen.
Dieser Satz gilt ausschließlich für die Konvergenz von Taylorreihen und ergibt sich einfach daraus, dass unter den gegebenen Voraussetzungen für $\begin{eqnarray*} |f^{(n)}(t)| \end{eqnarray*}$ das Lagrange Restglied mit Sicherheit gegen 0 strebt, wie du selbst nachprüfen kannst, womit die Konvergenz ja gezeigt ist.

Achja, ein Name für diesen Sachverhalt ist mir nicht bekannt, aber er hat wohl auch keinen eigenen Namen verdient.

22.09.2004, 18:52

blackearth

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ok dankeschön ich denk damit wär alles geklärt ... und vergiss die pm ^^ hab ich wohl 1 min abgeschickt bevor du dies hier gepostet hast

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