Richtungsableitung |
| 21.09.2004, 12:37 | Leobner | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Richtungsableitung Im R3´sei eine Temperaturverteilung gegeben. T(x,y,z)= 75+3x^2-y^3-3z^2. Welche Richtung ist von Punkt P=(1,1,1) aus zu wählen um eine mölichst rasche abkühlung zu erhalten? Bestimmen Sie die Richtungsableitung im Punkt P in diese Richtung. Vielen Dank Peter |
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| 21.09.2004, 13:33 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Berechne erstmal den Gradienten deiner Funktion, denn dieser zeigt ja in Richtung des stärksten Anstieges. Entsprechend zeigt der Vektor dann in Richtung des stärksten Abfalles, was ja hier gesucht ist. Die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten ist gerade , wie das hier anzuwenden ist, sollte klar sein. |
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| 21.09.2004, 18:10 | Leobner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank, aber gibt es auch eine etwas einfachere Erklärung? |
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| 22.09.2004, 09:13 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Leobner, bitte präzisiere doch ein wenig, was du nicht verstanden hast. Die Begriffe sollten dir eigentlich nicht unbekannt sein, oder? Richtungsableitung kommt ja schon in der Aufgabenstellung vor und den Gradienten musst du wohl auch kennen, wenn du diese Aufgabe gestellt bekommst. Gruß vom Ben |
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| 22.09.2004, 10:20 | Leobner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie ich den gradf(P) ausrechne ist mir klar und das dann der -gradf(p) in Richtung des stärsten abfalles zeig auch. gradf = (fx,fy,fz) und für gardf(p) dann die Punkte einsetzen. Aber wie gehts weiter? Vielen Dank für eure Hilfe! |
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| 22.09.2004, 18:33 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi. Berechne also grad f, multpliziere mit -1 und setze dann P ein. Das liefert dir direkt die Richtung des stärksten Abfalles. Und die Größe des Abfalles, also die entsprechende Richtungsableitung, berechnet sich wie gesagt zu -|grad f(P)|, das habt ihr bestimmt auch aufgeschrieben. |
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| 23.09.2004, 16:46 | Leobner | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Also der gradf=(6x,-3y^2,-6z); gradf|p=(6,-3,-6) = max. Anstieg dann ist der max Abfall (-6,3,6) bis daher ist mir alles klar, aber nicht mehr wie ich dann zu -|grad f(P)|, als der Richrungsableitung komme ist mir noch immer nicht klar. Die einzige Formel die ich gefunden habe ist: Pv = v* gradf|p. Vieleicht kann mir da auch noch wer weiter helfen, wär klasse. Danke |
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| 23.09.2004, 17:17 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, die Richtung ist also -grad f(P). Jetzt musst du die Richtungsableitung in Richtung dieses Vektors berechnen. Die Formel für die Ableitung in Richtung v ist, wie du richtig gesagt hast, einfach v*grad f(P) Hier könnten wir jetzt für v einfach -grad f(P) einsetzen, wenn v nicht ein Einheitsvektor sein müsste. Zuerst müssen wir also die Richtung normieren: Der Einheitsvektor in Richtung -grad f(P) ist natürlich einfach Setze dies jetzt für v ein, du wirst gerade -|grad f(P)| erhalten und damit bist du fertig. |
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