Satz von Hadamard..

22.09.2004, 10:52	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Hadamard.. Guten Morgen! Wann ist eine Matrix positiv/negativ definit? Mir fällt dazu der Satz von Hadamard ein(find ihn nur nirgens und weiß nicht, ob der Name richtig geschrieben ist..) Wenn alle Hauptunterdeterminanten positiv sind ist die Matrix pos.def. Was ist, wenn eine Hauptunterdeterminante 0 ist? z. B. hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2& 4 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Noch ne blöde Frage.. Was heißt das überhaupt: positiv/negativ definit? Was fang ich damit an? Gruß, Olli
22.09.2004, 19:11	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine symmetrische Matrix A heisst positiv definit, wenn: $\begin{eqnarray} x^{t } \cdot A \cdot x>0 \end{eqnarray}$ fuer alle x eine symmetrische Matrix A heisst positiv semidefinit, wenn: $\begin{eqnarray} x^{t } \cdot A \cdot x \geq 0 \end{eqnarray}$ fuer alle x (analog fuer negativ definit und kleiner als Null) wobei: $\begin{eqnarray} x^{t } \cdot A \cdot x=(x,A\cdot x) \end{eqnarray}$ , die (,) - Klammern stehen fuer das Skalarprodukt. Saetze ueber positive Definitheit: Eine Matrix ist positiv definit genau dann wenn alle Eigenwerte echt postiv (groesser als Null) sind. Eine Matrix ist negativ definit genau dann wenn alle Eigenwerte kleiner als Null sind (echt negativ). Eine Matrix A ist positiv definit genau dann wenn alle Hauptminoren (Hauptunterdeterminenten) positiv sind. Eine Matrix A ist negativ definit genau dann wenn: $\begin{eqnarray} (-1)^{k}\cdot \mid A_{k} \mid >0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \mid A_{k} \mid \end{eqnarray}$ der kte Hauptminor ist. Falls die Determinante der Matrix ungleich Null ist und keine der beiden Aussagen ueber die Hauptminoren zutrifft, dann ist die Matrix indefinit.
23.09.2004, 09:44	Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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