Pyramiden (gelöst!)

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22.09.2004, 13:40	Sabrina S	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramiden (gelöst!) Es war einmal ein ziemlich faules Eichhörnchen. Obwohl es so faul war, hatte es das Eichhorn durch Glücksspiel und durch eine Erbschaft auf eine beträchtliche Anzahl Nüsse gebracht, die es in seiner Vorratskammer gestapelt hatte. Der Stapel bestand aus einer einzigen vollständigen dreiseitigen Pyramide. Da es in der nächsten Woche eine neue Lieferung Nüsse (beim Pokern gewonnen) erwatete und der eine Stapel schon an der Decke des Kellers anstieß, beschloß es, die Vorratskammer aufzuräumen und alle Nüsse umzustapeln. Und da es ja ein faules Eichhorn war, engagierte es sich einen unbezahlten Eichhornpraktikanten aus der nahegelegenen Baumschule und sagte zu Ihm: "Wenn Du es schaffst, aus dieser einen kompletten Pyramide acht gleichgroße dreiseitige Pyramiden zu stapeln und mir am Ende sagen kannst wieviele Nüsse ich insgesamt in meiner Kammer habe, sollst Du die acht Nüsse, die übrig bleiben, als Lohn bekommen." Das Praktikanteneichhorn machte sich sofort an die Arbeit und stapelte alle Nüsse nach den Vorgaben des faulen Eichhorns um. Welche Zahl (N) nannte der Praktikant dem faulen Eichhorn, bevor er sich mit seinem gerade verdienten Lohn (L) auf den Heimweg machte? Wenn Du die Zahl N ermittelt hast, weißt Du wahrscheinlich auch, wieviel Ebenen (G) die große Pyramide hatte und je wieviele Ebenen (K) die kleinen Pyramiden haben.
22.09.2004, 15:02	ligako2	Auf diesen Beitrag antworten »
L =8 k=7 G=K+L=15
22.09.2004, 15:06	Sabrina S	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramiden und wo ist N?
23.09.2004, 00:07	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür würde ich ersteinmal eine Funktion P(n) aufstellen, die die Anzahl der Nüsse in abhängigkeit der Stabelhöhe angibt... Hierzu sollte man aber ersteinmal die sogenannten Dreieckszahlen betrachten... Man betrachte jetzt den Verlauf von der untereren schicht der Piramide: $\begin{eqnarray} 0+1 =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 +1 + 2 = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 + 1 + 2 + 3 = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 + 1 + 2 + 3 + 4 =10 \end{eqnarray}$ Man sieht also das für die untere schicht immer 1 mehr dazu addiert werden als beim schritt davor. Daher nenn ich die Funktion die die untereschicht angibt mal U(n) wobei n die Stufe ist. Vereinfachen kann man hier mit Gauß: $\begin{eqnarray} U(n) =\frac{n (n+1) }{2} \end{eqnarray}$ Nu gehts los: $\begin{eqnarray} P(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(1) = 0 + U(1) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(2) = P(1) + U(2) = 1 + 3 = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(3) = P(2) + U(3) = 1 + 3 + 6 = 10 \end{eqnarray}$ Allgemein $\begin{eqnarray} P(n) = P(n-1) + U(n) = U(1) + U(2) + U(3) + ... + U(n) \end{eqnarray}$ Also allgemein $\begin{eqnarray} P(n) = \sum_{i = 0}^n U(i) = \sum_{i = 0}^n \frac{i * (i+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^n( i^2+i ) = \frac{1}{2}( \sum_{i = 0}^n i^2 + \sum_{i = 0}^n i )= \frac{1}{2} * (\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}) \end{eqnarray}$ So das vereinfacht ergibt $\begin{eqnarray} P(n) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} \end{eqnarray}$ Jetzt ist in der Aufgabe gefragt nach folgendem: $\begin{eqnarray} P(G) = 8 P(K) + 8 \end{eqnarray}$ Ein Ergebnis hierfür wäre: $\begin{eqnarray} G = 15 ; K = 7 \end{eqnarray}$ Dann hätte das Eichhörnchen P(15) Nüsse $\begin{eqnarray} P(15) = 680 \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} 8P(7)+8 = 680 \end{eqnarray}$
23.09.2004, 00:14	ligako2	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich hab n vergessen ok kanns nicht sein das es aber vielleicht viel mehr nüsse hat
23.09.2004, 00:16	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
öhm wenn ich mich nicht verguckt hab gibts da nix unter 15000
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23.09.2004, 01:06	ligako2	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich habs selbst gelöst kann nicht sein aber danke henrik übrigens blitz saubere herleitung
24.09.2004, 19:08	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst vielleihtnoch deinen beweise posten wieso es nur diese lösung gibt?
28.09.2004, 15:56	bird	Auf diesen Beitrag antworten »
mag vielleicht eine komische Frage sein, aber wieso liegen in der vierten Schicht der Pyramide 10 Nüsse? Ich fände es logisch, wenn die Schichten folgendermaßen aussähen: Spitze: 1 1. Reihe: 2+1=3 2. Reihe: 3+2+1=6 3. Reihe: 4+3+2=10 4. Reihe: 5+4+3=12
28.09.2004, 23:04	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
"3. Reihe: 4+3+2=10" irgendwie bekomm ich was andres raus wenn ich die drei zahlen miteinander addiere... ich dachte es mir so :
13.10.2004, 13:59	Sabrina S	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht schlecht!
28.12.2008, 23:09	Gascht	Auf diesen Beitrag antworten »
tztztz immer diesen faulen Geocacher ...

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