supremum infimum |
| 01.11.2003, 19:36 | Andy1983 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| supremum infimum Seien A und B nichtleere, nach oben beschränkte Mengen positiver Zahlen reeller Zahlen. Zeigen Sie: (a) ist A+B:= {a+b| a€A, b€B} so gilt sup(A+B) =sup(A) + sup (B) (b) Für AB :={ab|a€A,b€B} so gilt sup (AB) =sup(A) * sup(B) Kann mir da jemand helfen??? |
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| 04.11.2003, 22:29 | Henrikrueping | Auf diesen Beitrag antworten » |
für beliebig kleine positive epsilon gibt es nach definition des supremums ein element, der menge A (oder B), dass größer ist als sup(A)-epsilon. dass sei a1. Gleiches gilt nun für b. Die Summe dieser beiden Elemente ist nun aber gerade: a1+b1 = sup(A) +sup(B) -2*epsilon. Was für beliebig kleine epsilon beliebig nah an sup(A)+sup(B) geht. Somit ist sub(A+B) =sub(A)+sub(B). Bei dem Produkt geht es ähnlich. DAbei muss man dann bedenken, dass sup(A) und sup(B) Konstanten sind und nicht von der wahl des epsilons abhängen. Eigentlich müsste man acuh ncoh zeigen dass kein Element aus A+B größer als sup(A)+sup(B) sein kann, was aber nicht schwer ist. |
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