Parameterdarstellung von Kreis, Kegel,etc.

23.09.2004, 01:21

Tinus

Parameterdarstellung von Kreis, Kegel,etc.

Hallo

wer kann mir sagenwie die verschiedenen Parameterdarstellungen von geometrischen Figuren sind? Z.Bsp wie Kreis =>

r(t) = r*(cos t, sin t)

für Kugel, Kegel, Ellipse, und möglichst viele andere Hilfe

lauten?
oder ein gescheiter link angeben wenn es zuviel ist und das ganze schon irgenwo gut angegeben ist. Oder ein Hinweis welche Wörter passend für google sein könnten. Bin schon endlos lange auf der Suche, bin für jede Hilfe dankbar!

Gruss Tinus

23.09.2004, 16:54

johko

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Wie wäre es mit einem Guglhupf unter "Parameterdarstellung" und der jeweiligen Ergänzung (kreis, Kugel, Ellipse...)? :]

johko

27.09.2004, 17:38

Tinus

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ich sein idiot?

etwas konstruktiveres wäre schon besser... aber hauptsache krasses zitat an- und den grosskotz raushängen?

greedos

27.09.2004, 19:30

Leopold

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Aber auch du stichst nicht gerade durch Höflichkeit hervor. Ich will trotzdem antworten.

Kugel
um $\begin{eqnarray*} O(0,0,0) \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = r \cdot \cos{u} \cdot \cos{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = r \cdot \sin{u} \cdot \cos{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = r \cdot \sin{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{mit} \ \ -\pi \leq u \leq \pi \ , \ -\frac{\pi}{2} \leq v \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man sich die positive z-Achse als Nordrichtung denkt, so ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ der Längengrad und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der Breitengrad.

Kegel
vom Radius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ und der Höhe $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ , in positiver z-Richtung geöffnet, mit der z-Achse als Rotationsachse und der Spitze in $\begin{eqnarray*} O(0,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{r}{h} \, v \cdot \cos{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{r}{h} \, v \cdot \sin{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{mit} \ \ -\pi \leq u \leq \pi \ , \ 0 \leq v \leq h \end{eqnarray*}$

Ellipse
um $\begin{eqnarray*} O(0,0) \end{eqnarray*}$ mit der x- und y-Achse als Symmetrieachsen und den Halbachsen $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = a \cdot \cos{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = b \cdot \sin{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{mit} \ \ -\pi \leq u \leq \pi \end{eqnarray*}$

29.09.2004, 10:54

johko

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Nur mal so am Rande:
Die von mir auf ausdrücklichen Wunsch animierte Eingabe "Parameterdarstellung Kegel" in Google liefert im ersten angegebenen Link bereits alle Infos:
http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/Kapitel1.pdf

Aber darum ging es dem Krakeeler wohl gar nicht...

Johko

Link repariert - Ben

17.07.2007, 11:07

ReSeT

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Immer wieder schön, in Foren Hinweise auf die Google Suche zu erhalten, die Google natürlich indiziert, wodurch man bei der Google Suche dann nur Ergebnisse bekommt, die wiederum auf Foren verweisen, in denen darauf hingewiesen wird, man möge doch bitte Google bemühen.

Hammer

Nachdenken ist nicht eure Stärke, wie?

17.07.2007, 12:28

riwe

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Zitat:

Original von ReSeT
Immer wieder schön, in Foren Hinweise auf die Google Suche zu erhalten, die Google natürlich indiziert, wodurch man bei der Google Suche dann nur Ergebnisse bekommt, die wiederum auf Foren verweisen, in denen darauf hingewiesen wird, man möge doch bitte Google bemühen.

Hammer

Nachdenken ist nicht eure Stärke, wie?

und du bist wohl doch nicht der schnellste verwirrt

26.02.2012, 15:29

Mineralium

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Oder er ist, wie ich, nach mehreren Jahren über einen google Treffer hier her gelangt.

Ich finde es auch immer schön, wenn nicht einfach nur ein "Such doch google" im ersten Post steht, denn jenen listet google trotzallem auch immer mit.

Daher ein Danke an Leopold - auch noch nach 8 Jahren Augenzwinkern

10.12.2014, 15:48

Arnulf123

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Hallo,

ich muss leider den alten Fred ausgraben:

Zitat:

Kegel vom Radius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ und der Höhe $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ , in positiver z-Richtung geöffnet, mit der z-Achse als Rotationsachse und der Spitze in $\begin{eqnarray*} O(0,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{r}{h} \, v \cdot \cos{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{r}{h} \, v \cdot \sin{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = v \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mbox{mit} \ \ -\pi \leq u \leq \pi \ , \ 0 \leq v \leq h \end{eqnarray*}$

Ich bin auch gerade dabei ein Kegel zu parametrisieren, fehlt hier nicht noch die Angabe dass:

$\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ : Radius

Man parametrisiert ja mit Zylinderkoordinaten und wenn man kein Integral für den Radius angibt, kommt, wenn man den Fluss berechnen will, mit dem Satz von Gauß noch ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ dazu von dem Volumenelement. Und um über den Radius integrieren zu können muss man also auch die Grenzen dafür angeben ist das so korrekt????

10.12.2014, 16:08

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Kegel ist hier gemeint als Kegelmantel. Dort sind Radius und Höhe über den Öffnungswinkel gekoppelt.
Wenn du einen Vollkegel parametrisieren musst, dann fehlt in der Tat noch ein Parameter, etwa $\begin{eqnarray*} 0\leq \rho \leq \frac r h v \end{eqnarray*}$

10.12.2014, 16:35

Arnulf123

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Ok, ich sehe aber das Problem darin, dass ich durch $\begin{eqnarray*} dV=r dxdydz \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ "bekomme" und schließlich auch ein Integral für den Radius des Kegels brauche.

Im konkreten Fall:

- Kegelspitze liegt im Ursprung
- Kreisscheibe des Kegels mit Radius $\begin{eqnarray*} R=2 \end{eqnarray*}$ und Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} (0,0,3)^T \end{eqnarray*}$ liegt in Ebene $\begin{eqnarray*} z=3 \end{eqnarray*}$

Idee für die Parametrisierung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{r}{3}zcos(\phi) \\ \frac{r}{3}zsin(\phi) \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \phi \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z\in[0,3] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r \in [0,2] \end{eqnarray*}$

Ist dies korrekt?

10.12.2014, 17:32

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