Differentialgleichung

23.09.2004, 11:28	madden	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Hi, hab mal wieder ein Problem. Folgende Gleichung: y"+4y'+4y= $\begin{eqnarray} e^{-2x}\cdot lnx \end{eqnarray}$ Lösung des homogenen Teils ist ja klar, aber welchen Lösungsansatz wähle ich für die Störfunktion?
25.09.2004, 12:39	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo madden, wenn du die homogene Lösung gefunden hast kannst du deine DGL umschreiben: y"+4y'+4y= $\begin{eqnarray} (\lambda^2+4\lambda+4)y=(\lambda+2)(\lambda+2)y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\lambda+2)v=e^{-2x}ln(x) \end{eqnarray}$ Der Ausdruck $\begin{eqnarray} (\lambda+2)v=e^{-2x}ln(x) \end{eqnarray}$ stellt eine DGL erster Ordnung dar, deren Lösung allgemein $\begin{eqnarray} e^{2x}v=\int_{}^{}~e^{2x}e^{-2x}ln(x) ~dx= \int_{}^{}~ln(x)~dx \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} v=e^{-2x}\int_{}^{}~ln(x)~dx \end{eqnarray}$ Jetzt gilt weiter $\begin{eqnarray} (\lambda+2)y=v \end{eqnarray}$ wenn man die DGL erster Ordnung mit dem gleichen Verfahren löst ergibt sich: $\begin{eqnarray} ye^{2x}=\int_{}^{}~e^{2x}v~dx=\int_{}^{}~\int_{}^{}~ln(x)~dx ~dx \end{eqnarray}$ folglich ist das deine Störfunktion: $\begin{eqnarray} y=e^{-2x}\int_{}^{}~\int_{}^{}~ln(x)~dx ~dx \end{eqnarray}$ Habs mal in die DGL eingesetzt und es passt. Die Konstanten die beim Integrieren entstehen nicht aufschreiben, die hast du nämlich schon bei der Bestimmung der homogenen Lösung beachtet.

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