partielle Integration

23.09.2004, 16:46

PeFro

partielle Integration

Hi,

berechne über folgenden Weg das partielle Integral:

von der zu integrierenden Funktion (z.B. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~x^{2}sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ ) f(x) und g(x) bestimmen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{3} \end{eqnarray*}$ ( Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$
g(x)= sin(x)

dann ist $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~x^{2}sin(x)~dx \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~f'(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

= f(PI)g(PI)-f(0)g(0) - $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~\frac{1}{3}x^{3}cos(x)~dx \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}PI^{3} sin PI - (\frac{1}{12}PI^{4}sin PI) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}PI sin PI - \frac{1}{12}PI^{4}sin PI \end{eqnarray*}$

Was aber definitiv falsch ist... die Frage ist, wo liegt der Fehler..?!

MfG
PeFro

23.09.2004, 16:52

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja helfen aber ich seh bei deinem Formelwirrwarr nicht durch, versuch mal den Text ordentlich zu formatieren, und als Tip

Für die partielle Integration würde ich an dieser Stelle die Stammfunktion von sin(x) bestimmen und x^2 ableiten. Da ganze 2 mal.

23.09.2004, 17:09

PeFro

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich häng mal den Auszug aus meinem Skript an, nach diesem Schema hab ich´s versucht und würde es gerne aus so lösen:

http://www.ratsschlag.de/misc/mathe1.jpg

http://www.ratsschlag.de/misc/mathe2.jpg

23.09.2004, 17:12

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß sehr wohl was partielle Integration heißt ich hab Dir nur einen anderen Ansatz (besseren) gegeben. Denn

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{PI}~x^{2}sin(x)~dx = \int_{0}^{PI}~sin(x)*x^2~dx \end{eqnarray*}$

edit

Wenn Du immer die Stammfunktion von ax^n nimmst und cos/sin ableitest wirst Du bei richtigem rechnen NIE ans Ziel gelangen.

23.09.2004, 17:17

PeFro

Auf diesen Beitrag antworten »

Das würd ich auch nie bestreiten, das weißt du auch sicherlich besser als ich. Bin momentan nur ziemlich verunsichert, weil ich halt schon etliche Wege gesehen habe um partiell zu integrieren, mit dem Weg aus meinem Skript aber nicht auf die richtige Lösung komme. Werd´s jetzt aber mal eben mit dem anderen Ansatz probieren und mich wieder melden.

edit

nach welchen kriterien entscheidet man denn dann, welche der beiden Funktionen man aufleitet?

23.09.2004, 17:25

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man nicht so ohne weiteres sagen, man kann aber sagen, das Funktionen die unendlich oft differenzierbar sind (sin(x), e^x) nicht abgeleitet werden. Über die partielle Integration versucht man ja eine Funktion verschwinden zu lassen. x² verschwindet bereits nach 2 partiellen Integrationen , x³ nach 3 etc.

Ich zeig Dir mal was passiert wenn ich konsequent ax^2 Integriere

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~x^2*sin(x)~dx = -\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi}~x^3*cos(x)~dx = \frac{-1}{3}*(\frac{\pi^4}{4}*(-1) - 1 + \frac{1}{4}(\int_{0}^{\pi}~x^4*sin(x)~dx)) \end{eqnarray*}$

Schau mal am ende, das ist fast das gleiche Integral, Du könntest den ganzen Spaß bis ins unendliche treiben.

23.09.2004, 17:36

PeFro

Auf diesen Beitrag antworten »

so also habs jetzt mit x^2 aufleiten probiert, ansonsten nach dem Schema aus dem Beispiel (siehe Grafik oben)

habs mal per Hand getippt für den Formel-Editor brauch ich 3 Jahre Augenzwinkern

kann es sein, dass ich dieses Schema garnicht anwenden kann?!?

http://www.ratsschlag.de/misc/mathe3.jpg

23.09.2004, 17:49

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich komm auf

$\begin{eqnarray*} \pi^2 - 4 \end{eqnarray*}$

denn

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~x^2*sin(x)~dx = 1*\pi^2 - \int_{0}^{\pi}~2x*-cos(x)~dx = \pi^2 + 2*\int_{0}^{\pi}~x*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Naja und

$\begin{eqnarray*} 2*\int_{0}^{\pi}~x*cos(x)~dx = -2*\int_{0}^{\pi}~sin(x)~dx = -4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

kann es sein, dass ich dieses Schema garnicht anwenden kann?!?

Die Aufgabe ist perfekt für partielle Integration.

edit

Dein Fehler:

Du hast eine falsche Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~-cos(x)*2x~dx \end{eqnarray*}$

gebildet.

-sin(x)*x² abgeleitet ist

$\begin{eqnarray*} -cos(x)*x^2 - sin(x)*2x \end{eqnarray*}$

23.09.2004, 18:14

PeFro

Auf diesen Beitrag antworten »

OK danke vorerst, werd das morgen nochmal genau checken.

Neue Frage »

Antworten »

partielle Integration

Verwandte Themen