Kugel und Ebene |
| 10.03.2007, 16:22 | Belle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kugel und Ebene Aufgabe 1 Die Ebene T1 durch A(4/41/-6), B(0/16/6) und C (0/0/14) berührt die Kugel K um M (1/2/3) a) Berechne den Kugelradius und Berührpunkt b) Stelle eine Gleichung der Ebene E auf, die auch durch A und B geht und die Kugel halbiert c) Stelle eine Gleichung der Ebene T2 auf, die auch durch A und B geht und die Kugel berührt. Bei dieser Aufgabe hab ich a und b schon, bloß bei der c steh ich auf den Schlauch. Ich hätt jetzt einfach AB1 (B1 für Berührpunkt von der Aufgabe a) und BB1 kreuzmultipliziert. Aufgabe 2 Gegeben ist die Ebenenschar Ea: x1+x2+x3-a=0, sowie die Punkte P(-2/2/0) und Q(-6/6/2). [PQ] ist Durchmesser der Kugel K a) Bestimme eine Gleichung von K [Meine Lösung: (x- (-4/4/1))²=9] b) Wo liegen die Mittelpunkte aller Kugeln, die [PQ] als Sehne haben? c) Für welche a-Werte schneiden sich K und Ea in einem Kreis? d) Für welchen a-Wert hat der Kugelmittepunkt von Ea den Abstand Wurzel 3? e) Berechne Mittelpunkt M4 und Radius r4 des Kreises, in dem sich K und die Ebene E4 schneiden Also hier versteh ich die c nicht. Wie können K und Ea sich in einem Kreis schneiden? Und wie kann ich das ausrechnen? also ich bräucht da nur einen Tipp. Ich kann mir da nix vorstellen Die e) Kriegt man da M raus indem man es auf die Ebene projiziert? Und wie kommt man dann auf den Radius? Aufgabe 3 Bestimme die Mittelpunkte der Kugeln mit Radius 26, die die Ebene T: 3x1+4x2-12x3+24=0 berühren und von den Ebenen E:9x1-12x2-2x3=0 und F: 15x1-3x2+8x3+51=0 halbiert werden Da hab ich mir gedacht wenn E und F die Kugel halbieren muss der Mittelpunkt bei der Schnittgerade von E und F sein. Also die Normalvektoren von beiden Ebenen kreuzmultiplizieren. Aber wie kriege ich M genau raus? Ich hoffe ihr könnt helfen 
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| 10.03.2007, 16:34 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kugel und Ebene zu 2c) wenn sich ebene und kugel schneiden, tun sie das immer in einem kreis zu 3) schnittgerade in die HNF von T einsetzen, der abstand d = +/- r ergibt den parameter t. |
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| 10.03.2007, 18:01 | Belle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dankeschön! Hab die Nr.3 jetzt rausbekommen |
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| 10.03.2007, 21:08 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1c) da schaust mal hier in den Thread rein. Ich hab das gerade mal durchgespielt, es ergibt sich T1(in HNF): 106/9+4/9*x-4/9*y-7/9*z = 0 T2(in HNF): -112/9-1/9*x+4/9*y+8/9*z = 0 vielleicht hat Werner was besseres |
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| 10.03.2007, 22:23 | Belle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab mir jetzt mal den Thread durchgelesen, aber ich verstehe es nicht. Muss ich jetzt aus meinen Punkten eine Gerade bilden damit ich das so anwenden kann wie im andern Thread? Aber es heißt ja nicht, dass A, B und der Berührpunkt auf einer Gerade liegen muss oder? |
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| 10.03.2007, 23:32 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt wie immer verschiedene Wege. Alle die mir einfallen sind mehr oder weniger unschön zu rechnen. ZB wäre diese Variante denkbar: Du erstellt eine allgemeine Ebenengleichung die garantiert dass A und B immer in der Ebene drin sind. Die bringst jetzt mit der Kugel zum Schnitt und forderst dass es nur 'einen' Schnittpunkt geben darf. Das führt dich zu dem bzw den beiden Berührpunkten. Allzuschön zu rechnen düfte das auch nicht sein. Diese Ebene kannst aber auch in die HNF bringen, den Kugelmittel- punkt einsetzen und einfordern dass das +-9 ergibt. Das könnte etwas runder laufen. Du kannst auch mehrere Kugeln schneiden, oder über die mögliche Schnittebene (steht senkrecht auf AB-Gerade) das etwas eingrenzen. In dem Thread wird auf eine etwas andere Weise eine Ebenenschar erstellt die sicherstellt dass A und B oder halt die Gerade durch A und B immer in den Ebenen liegt. Über die HNF oder Schnitt mit der Kugel lässt sich diese Schar zu den zwei möglichen Ebenen hinbiegen. Allzuschön ist das aber auch nicht zu rechnen. |
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| 11.03.2007, 11:05 | Belle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für die Hilfe! Hab jetzt alle Aufgaben gelöst |
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| 11.03.2007, 12:29 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
neben anderen wegen, der vermutlich einfachste: jetzt skalar mit multiplizieren ergibt und weiters gilt mit R radius der kugel. damit hast du mit den punkten A und B 3 gleichungen um den gesuchten normalenvektor zu berechnen. ich erhalte wunschgemäß werner edit: da stimmen die vektorpfeile nicht so ganz, aber das prinzip ist es. |
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| 11.03.2007, 22:51 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Werner ja ich habs gesehen, auch mal nachgestellt, sogar in 2 unterschiedlichen Varianten, das ist entschieden die bessere Wahl. Hatte grob im Gefühl dass das andere nicht ganz die wahre Richtung ist, nicht gerade unkompliziert und dennoch aufwendig. Wenn Belle das trotzdem verstanden und geschafft hat, dann ist sie gut. |
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| 11.03.2007, 23:06 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dieses kompliment wird sie freuen 
werner |
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