Funktionenschar "basteln"

10.03.2007, 16:25	alfred	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenschar "basteln" Hi folgende Aufgabe macht mir Probleme : Gegeben ist eine Schar ganzrationaler Funktionen $\begin{eqnarray} f_{a} \end{eqnarray}$ durch folgende Eigenschaften: (A) an der stelle x = 1 liegt ne doppelte nullstelle (B) die wendepunkte liegen bei x = 2/3 (C) die funktionen sind 3. grades Bestimme den Funktionsterm $\begin{eqnarray} f_{a}(x) \end{eqnarray}$ ! So Ansatz wäre ja irgendwas mit f(x)=ax³+bx²+cx+d ... a. f(1) = 0 => a+b+c+d = 0 b. f"(2/3) = 0 => 4a + 2b = 0 Und wie soll jetzt weiter gehen ? ... Kann das so überhaupt funktionieren oder muss ich da über f(x) = a(x-1)(x-1)*x ... ansetzen ?? Nur wie muss ich in diesem Fall die anderen Parameter einbauen ? Mit freundlichen Grüßen
10.03.2007, 16:30	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Es soll eine Fkt.scharr sein, aber sowohl Nullstellen, als auch Wendepunkte sich unabhängig vom Scharrparameter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . 2.) Dein $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a^3+b^2+.. \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} f_a(x) \end{eqnarray}$ sind doch verschieden, oder? 3.) Hast du die Aufgabe korrekt hier reingestellt? Fehlen keine Angaben?
10.03.2007, 16:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionenschar "basteln" Setzt doch mal die Bedingungen um $\begin{eqnarray} (A)~f_t(1) = 0 \text{ und } f_t'(1)=0~ \forall t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (B)~f_t'' (\frac{2}{3}) = 0 ~\forall t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (C)~f_t(x) = ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f_t'(x) = 3ax^2+3bx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f_t''(x) = 6ax + 3b \end{eqnarray}$ Wahl von t statt a, um Doppelbezeichnung zu vermeiden.
10.03.2007, 17:08	alfred	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha ... also bedeutet "doppelte Nullstelle", dass man dort einerseits ne nullstelle und andererseits eine extremstelle hat ?
10.03.2007, 17:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es bedeutet das was da steht. Dass sowohl die Funktion als auch ihre erste Ableitung an dieser Stelle gleich 0 sind. In Bezug auf einen Extremwert ist dass nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung. Vergleiche hierzu die Funktionf(x)=x³.
10.03.2007, 17:35	zt	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber so wie ich das sehe ist die gesuchte Gleichung unabhängig von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , oder? Komische Kurvenscharr..
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