Gleichung der Tangentialebene

23.09.2004, 18:59	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung der Tangentialebene Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche $\begin{eqnarray} z=f(x,y)=+\sqrt{8-2x^2-5y^2} \end{eqnarray}$ im Punkt(1,1,f(1,1))! Ich bin so vorgegangen: Ich habe fx und fy bestimmt, die Punkte x und y eingesetzt. Anschließen hab ich alles in die Gleichung: fx.(x-xo)+fy*(y-yo) eingesetzt macht dann: -2x-10y+12 Stimmt das??? Und was soll das f(1,1) in "Punkt(1,1,f(1,1)) beteuten? Schönen Dank, Mike
24.09.2004, 14:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Es geht nicht um Punkte x und y, sondern primär nur um einen Punkt der Fläche, mit den Koordinaten x, y, .. T(x\|y\|z=f(1,1)), in dem die Tangentialebene zu errichten ist. Von diesem Punkt ist sein x-Wert x = 1 und sein y-Wert y = 1 gegeben. Daher kann die dritte Koordinate z berechnet werden, das ist mit f(1,1) gemeint! Wir setzen also in die Gleichung der Fläche x = 1 und y = 1 ein und erhalten z = f(1,1) $\begin{eqnarray} z = +\sqrt{8 - 2- 5} = +1 \end{eqnarray}$ Der Tangentialpunkt lautet also T(1\|1\|1). Nun wird die Gleichung etwas umgeformt $\begin{eqnarray} 2x^2 + 5y^2 + z^2 - 8 = 0 \end{eqnarray}$ Jetzt die partiellen Ableitungen nach x, y, und z berechnen: $\begin{eqnarray} f_x = 4x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y = 10y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_z = .... \end{eqnarray}$ Die Koordinaten von T liefern schlussendlich den Normalvektor der Tangentialebene (Gradient der Fläche). Reicht das? Gr mYthos
24.09.2004, 15:35	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, fz = 2z dann setz ich in: T = fx(x0,y0,z0).(x-x0)+fy(x0,y0,zo)(y-yo)+fz(x0,y0,z0)(z-z0) ein ?????? also: T = 4x.(x-1)+(10y)(y-1)+2z(z-1) ein ???? Wenn das stimmt dann hats gereicht, wenn nicht wär ich sehr dankbar wenn Sie mir nochmal weiterhelfen würden. Vielen Dank
24.09.2004, 16:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_z = 2z \end{eqnarray}$ , ja Die Gleichung der Tangentialebene muss aber linear sein, bei dir ist sie ja quadratisch ..., du musst die Ableitungen an der "Stelle" einsetzen und nicht x, y, z allgemein, und ausserdem gehört rechts = 0 Also: fx(x0,y0,z0).(x-x0)+fy(x0,y0,zo)(y-yo)+fz(x0,y0,z0)(z-z0) = 0 Nun x0, y0, z0 entsprechend durch die Koordinaten von T ersetzen, ergibt die Gleichung der Tangentialebene $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ : 4.1(x-1)+(101)(y-1)+21(z-1) = 0* 4x + 10y + 2z - 16 = 0 bzw. 4x + 10y + 2z = 16 \|:2 $\begin{eqnarray} \tau .. \end{eqnarray}$ 2x + 5y + z = 8 Gr mYthos
24.09.2004, 16:59	Mike	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, jetzt ist alles klar.

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