Extremwertaufgaben

10.03.2007, 16:42

Fiffi

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Extremwertaufgaben

Ich hab ein riesen Problem mit diesem Thema. Kann mir einer helfen?

Also die Aufgabe ist folgende :
Ein dreieck ABC mit A(2/0), B(-2/0), C(0/4). Psei ein Punkt auf AC, Q bezüglich der y- Achse der spiegelbildl. Punkt zu P . Bestimme P so, daß das Dreieck OPQ den größtmöglichen Flächeninhalt hat . Wie groß ist dieser?
Und ich hab wie gesagt keine Ahnung.

10.03.2007, 16:46

zt

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Zitat:

Bestimme P so, daß das Dreieck OPQ den größtmöglichen Flächeninhalt hat .

Meinst du nicht doch eher APQ oder BPQ?

10.03.2007, 16:54

Fiffi

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Nein leider nicht. In meinem Buch steht OPQ .

10.03.2007, 16:55

zt

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Schaue bitte nach, ob in deinem Buch ein "O" (Buchstabe) oder eine 0 ("Null") steht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2007, 16:58

Fiffi

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Da steht OPQ und hinter dem P und Q jewils ein 0 als Fussnote.

10.03.2007, 17:00

zt

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So: $\begin{eqnarray*} OP_0{Q_0} \end{eqnarray*}$ ?

Aber was soll das "O" sein?

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10.03.2007, 17:04

Fiffi

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Ja, genau so. Das O steht vielleicht für den Koordinatenursprung. In dem Buch sind Abb. und darin ist der Ursprung mit damit gekennzeichnet. zumindest siehts für mich so aus.

10.03.2007, 17:08

zt

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Anders würde es auch keinen Sinn machen, stimmt.

Okay.. Dein Dreieck ABC ist gleichschenklig. Dann stelle dochmal die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte A und C auf!

10.03.2007, 17:10

Fiffi

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y= -2x + 4 und nun?

10.03.2007, 17:16

zt

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Okay, stimmt. Für diese Aufgabe reicht es ja aus das Dreieck D(0/0), E(0/P_Y), F(P_X,P_Y) zu extremieren. Jetzt gibt es einen Punkt auf der Gerade so, dass die Dreiecksfläche maximal wird. Wie lautet dann die Formel für den Flächeninhalt?

10.03.2007, 17:21

Fiffi

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A=0.5 * g* h
* steht für den Malpunkt

DEF ist doch eigentlich mein OPQ richtig?

10.03.2007, 17:29

zt

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Ja, genau. Sorry. Ich meinte: O(0/0), Q(-P_X/P_Y), P(P_X,P_Y)

Jetzt hast du doch die Geradengleichung ermittelt: $\begin{eqnarray*} f(x)=-2x+4 \end{eqnarray*}$ . Auf dieser befindet sich der Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Die Seite $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ des Dreiecks OPQ entspricht doch $\begin{eqnarray*} g=2x \end{eqnarray*}$ und die Höhe entspricht $\begin{eqnarray*} h=f(x) \end{eqnarray*}$ . Soweit klar?

Wenn ja, dann einfach in deine Fächengleichung einsetzen, ableiten und Extrema bestimmen. Wenn nicht, dann mache dir eine Skizze.

10.03.2007, 17:39

Fiffi

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Also :

A=0,5* 2x*(-2x+4)
A=-2x+4x

A´=-4x+4
A``=-4 < 0 daraus folgt lokal. Maximunm

A´=0
0=-4x+4 /-4
-4=-4x / unglücklich

unglücklich

-4)
x=1

und nun in die Flächneinhaltsgleichung?

10.03.2007, 17:43

zt

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Naja, du hast gerade herrausgefunden, dass das Dreieck OPQ maximal ist, wenn die X-Koordinate des P-Punktes X=1 ist. Jetzt kannst du die Y-Koordinate bestimmen..

$\begin{eqnarray*} P(1/f(1)) \end{eqnarray*}$

10.03.2007, 17:48

Fiffi

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Also ist y=2
und das sagt mir was ?
P(1/2) und Q(-1/2) und nun?

10.03.2007, 17:51

zt

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Naja, das ist die Lösung der Aufabe.

Der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ ist dann maximal, wenn der gesuchte Punkt P(1|2) ist.

10.03.2007, 18:08

Fiffi

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Dann ist A= 2 geschockt

geschockt

Danke für deine Hilfe!

10.03.2007, 18:11

zt

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Gehört zwar nicht zur Aufgabe...

Aber die Dreiecke OAP,OBQ,OPQ,CQP sind alle gleichgroß!

10.03.2007, 18:16

Fiffi

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Stimmt jetzt wo du es sagst, fällt es mir auch auf.

Darf ich dich mal was fragen? wie alt bist du ? und Wie bist du da so schnell drauf gekommen ?

11.03.2007, 18:08

zt

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Zitat:

-----Ursprüngliche Nachricht-----
Nachricht von: Fiffi
Gesendet: 11.03.2007 17:25
An: zt
Betreff: 897987

Hallo du kannst du mir nochmal erklären wie du gestern auf h gekommen bist ? Hab da irgendwie den Zusammenhang noch nicht ganz mitbekommen

Julia

16.03.2007, 20:44

Fiffi

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Hallo !
Hab eine neue Aufgabe mit der ich nicht klar komme: verwirrt

verwirrt

Gegeben ist die Gleichung y=-0,5x^2+2 -2 Im Intervall -2 < x<2( um genau zu sein kleiner bzw. größer gleich) und P (u/v) sei ein beliebiger Punkt auf der Parabel .
nun die Aufgabe das dreieck ABP so zu bestimmen, dass das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt hat. A (-2/0) und B(u/0).
Mein Ansatz:
A=0,5 * g*h (* mein Malpunkt)
h= -0,5x^2+2
Mein Problem ich krieg das g nicht aus der Gleichung traurig

traurig

, kann mir einer erkären wie ich raus bekomme?

16.03.2007, 23:20

Bjoern1982

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Hallo Fiffi

Wie heisst denn deine Parabelgleichung jetzt....so ?

$\begin{eqnarray*} y=-0,5 \cdot x^2+2 \end{eqnarray*}$

Die Grundseite g des Dreiecks ist einfach der Abstand der beiden Punkte A und B...und da beide auf der x-Achse liegen ist es eben die Entfernung ihrer x-Koordinaten, sprich ihre Differenz.

Gruß Björn

17.03.2007, 15:45

Fiffi

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Ja genau das ist die Gleichung. Dann müsste meine Gleichung also lauten :

A= 0.5 *( - 2- u)* (- 0,5x^2+2) ?

17.03.2007, 15:53

zt

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Nein. $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\cdot(x+2)\cdot{f(x)} \end{eqnarray*}$ .

Edit: oder mit deinem $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\cdot(u+2)\cdot{f(u)} \end{eqnarray*}$

18.03.2007, 11:34

Fiffi

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Kurven- und Funktionsscharen ??
Hallo
hab folgendes Problem bei der Aufgabe :
y= (-1/2a^2)X^4+(1/a)x^3 ; a ist Element von reeelen Zahlen in Positven Berreich

Parabeln sind Ka
Meine Aufgabe Die Normale von Ka im ( von koordinatenursprung verschiedenen) Wendepunkt W schneidet die x-Achse in P. Berechne Flächeninhalt A des Dreiecks OPW. Für welches a beträgt A 13 FE?

Meine Normale hab ich raus und und nun?

18.03.2007, 12:38

zt

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Sicher dass du die Aufgabe richtig gestellt hast? (auch die Gleichung?)

Wie sieht denn deine Normale aus?

18.03.2007, 13:43

Fiffi

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Meine Normale :
y=(-1/a)x+((a^2/2)+1)

18.03.2007, 13:47

zt

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Ich habe leider etwas total anderes raus. (Was nicht heißt, dass es stimmt!)

Kannst du mal bitte deine Rechnung zeigen? Danke!

18.03.2007, 14:03

Fiffi

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fa´(x)= mt=(-2/a^2)(x^3)+(3/a)(x^2)
dann setze ich x=a da alles im Wendepunkt ( a; (a^2/2)) sein soll
mt= a
mn= -1/mt= -1/a
dann in Gleichung y= mnx+n
(a^2/2)= (-1/a)(a)+n
a kürzt sich raus
(a^2/2)+1 =n
bringt mich zu
y= (-1/a)x+( (a^2/2)+1)

18.03.2007, 14:09

zt

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Lautet deine Ausgangsfunktion denn $\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{x^3}{a}-\frac{x^4}{2a^2} \end{eqnarray*}$ ??

18.03.2007, 14:13

Fiffi

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Nein wieso ?

Die lautet : y= (-1/(2a^2))(x^4)+(1/a)(x^3)

18.03.2007, 14:18

zt

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Zitat:

Original von Fiffi
Nein wieso ?
Die lautet : y= (-1/(2a^2))(x^4)+(1/a)(x^3)

Das ist jetzt identisch mit:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{x^3}{a}-\frac{x^4}{2a^2} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Am Anfang hieß deine Funktion noch:

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{x^3}{a}-\frac{x^4}{2}a^2 \end{eqnarray*}$

, weshalb ich ausdrücklich gefragt habe, ob deine Funktion korrekt ist. Lehrer

Lehrer

18.03.2007, 14:34

Fiffi

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Tut mir leid da hab ich wohl ne klammer vergessen . Und nun? Ist es richtig ?
Wenn ja wie gehts weiter?

(Sorry für meine Ungeduld)

18.03.2007, 15:02

zt

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Ja, dann stimmt natürlich alles!

$\begin{eqnarray*} y_N=-\frac{1}{a}x+\left(\frac{a^2}{2}+1\right) \end{eqnarray*}$

Zu deinem Problem:

Dein Dreick konstruiert sich aus $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ Punkten. (geht ja auch garnicht anders)

- Punkt 1.) $\begin{eqnarray*} \text{O}\left(0\big/0\right) \end{eqnarray*}$ (Koordinatenursprung)

- Punkt 2.) $\begin{eqnarray*} \text{P}\left(x_{s_N}/0\right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x_{s_N} \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der Normale mit der x-Achse ist.

- Punkt 3.) $\begin{eqnarray*} \text{WP}\left(a\big/\frac{a^2}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Die einzige Angabe, die dir jetzt noch fehlt ist $\begin{eqnarray*} x_{s_N} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x_{s_N}=?? \end{eqnarray*}$

18.03.2007, 15:58

Fiffi

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Dann ist x=(a^3/2)+a ?

18.03.2007, 16:00

Bjoern1982

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Freude

18.03.2007, 16:02

zt

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Ja, hast du jetzt mal den Graphen skizziert und die Punkte eingezeichnet?

Edt.: #late

18.03.2007, 16:14

Fiffi

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Wie soll ich den nen Graphen skizzieren, wenn ich die Parabel drin hab?
Ich meine, ich hab doch keine Ahnung was a ist.

18.03.2007, 16:16

zt

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$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist doch lediglich eine Konstante.

Also skizziere doch einfach mal den Graphen $\begin{eqnarray*} f_3(a) \end{eqnarray*}$ testweise und zeichne die Punkte für das Dreieck ein!

18.03.2007, 16:28

Fiffi

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Also ist die Grundseite der Abstand von O und P un d die Höhe müsste da sein wo der Wendepunkt liegt, oder ?

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