Basis und Dimension eines Vektorraumes

10.03.2007, 19:32

Risuku

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Basis und Dimension eines Vektorraumes

Sorry wenn das jetzt fehl am platz is. aber bin zimlich unter zeitdruck und will UNBEDINGT noch einige fragen klären und hab gelesen das das der richtige bereich ist traurig

traurig

Habe ein LGS :

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 5x_4 - 2x_5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 + 7x_2 + 9x_3 + 2x_4 - 6x_5 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Dim V = 3 \end{eqnarray*}$

also brauche ich 3 Vektoren für die Basis.
Naja ich setze folgendes nachdem ich das LGS soweit wie möglich aufgelöst habe :

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 5x_4 - 2x_5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 11x_2 + 19x_3 - x_4 - 10x_5 =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=r , x_4=s , x_5=t \end{eqnarray*}$

dann bekomme ich für x_1 und x_2 folgendes:

$\begin{eqnarray*} x_1= -\frac{3}{2}x_2 + \frac{1}{2}r -\frac{5}{2}s+t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= -\frac{19}{11}r + \frac{1}{11}s +\frac{10}{11}t \end{eqnarray*}$

Nun kommt der part den ich nicht verstehe.

Setzt man in die Gleichung x_1 für x_2 den vorhererechneten Therm ein und drückt man auch x_3,x_4 und x_5 als Linearkombination von r, s und t aus so erhält man:

$\begin{eqnarray*} x_1= \frac{1}{11}*(34r - 29s - 4t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= \frac{1}{11}*(-19r - 1s - 10t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3= \frac{1}{11}*(11r - 0s - 0t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4= \frac{1}{11}*(0r - 11s - 0t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_5= \frac{1}{11}*(0r - 0s - 11t) \end{eqnarray*}$

Also wie kommen die da auf x_3 - 5? und was muss ich noch machen um daus eine basis für den Vektorraum zu erhalten?

lg risu

10.03.2007, 19:37

tigerbine

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RE: Basis und Dimension eines Vektorraumes
Also was ist hier jetzt eigentlich die Aufgabe?

Was ist gegeben und was sollst du bestimmen. Da stimmen ein paar Begriffe nicht.

10.03.2007, 19:46

Risuku

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eine Aufgabe ist nicht gegeben kann aber lauten:

Bestimmen Sie eine Basis für den Vektorraum mit Hilfe des LGS:

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 5x_4 - 2x_5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 + 7x_2 + 9x_3 + 2x_4 - 6x_5 =0 \end{eqnarray*}$

Naja die Dimension ist halt 3 und deswegen besteht die Basis aus 3 linear unabhängigen vektoren. Habe bisher immer nur basen mit 1. vektor bestimmen müssen -.-

nun will ich wissen wie das wie in diesem fall mit 3 Vektoren geht.
Hoffe du kanns mir da helfen.

Also ich versteh nicht wie die auf diese Lösung kommen

$\begin{eqnarray*} x_3= \frac{1}{11}*(11r - 0s - 0t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4= \frac{1}{11}*(0r - 11s - 0t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_5= \frac{1}{11}*(0r - 0s - 11t) \end{eqnarray*}$

Dasganze ist von einem Blatt wo ein Beispiel erklärt ist aber meiner Meinung nach nicht gut genug traurig

traurig

also wie muss ich weiter vorgehen wenn ich x_1 und x_2 ermittelt habe

lg risu

10.03.2007, 19:49

tigerbine

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Was sind denn jetzt $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_5 \end{eqnarray*}$ ? Vektoren, Zahlen?

Warum ist die dimension 3?

10.03.2007, 20:08

Risuku

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also ich tip dir mal die KOMPLETTE "aufgabe" a:

Beispiel 2: Basis und Dimension bestimmen

Die Lösung des LGS

$\begin{eqnarray*} \{ 2x_1 + 3x_2 - x_3 + 5x_4 - 2x_5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{ x_1 + 7x_2 + 9x_3 + 2x_4 - 6x_5 =0 \end{eqnarray*}$

bildet einen Vektorraum.
Geben Sie eine Basis und die Dimension dieses Vektorraumes an.
Lösung:
Mithilfe des Gauss-Verfahrens erhält man

$\begin{eqnarray*} \{2x_1 + 3x_2 - x_3 + 5x_4 - 2x_5 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \{ 11x_2 + 19x_3 - x_4 - 10x_5 =0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} x_3=r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_4=s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_5=t \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} x_1= -\frac{3}{2}x_2 + \frac{1}{2}r -\frac{5}{2}s+t \end{eqnarray*}$ (*)
$\begin{eqnarray*} x_2= -\frac{19}{11}r + \frac{1}{11}s +\frac{10}{11}t \end{eqnarray*}$

Setzt man in der Gleichung (*) für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ den Therm $\begin{eqnarray*} -\frac{19}{11}r + \frac{1}{11}s +\frac{10}{11}t \end{eqnarray*}$ ein und drückt man auch $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von r, s und t aus so erhält man:

$\begin{eqnarray*} x_1= \frac{1}{11}*(34r - 29s - 4t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2= \frac{1}{11}*(-19r - 1s - 10t) \end{eqnarray*}$
----------------------
$\begin{eqnarray*} x_3= \frac{1}{11}*(11r - 0s - 0t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4= \frac{1}{11}*(0r - 11s - 0t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_5= \frac{1}{11}*(0r - 0s - 11t) \end{eqnarray*}$

Jede Lösung $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3,x_4,x_4) \end{eqnarray*}$ des LGS kann man somit als Linearkombination der Lösungen (34; -19; 11; 0; 0), (-29; 1; 0; 11; 0) und (-4; 10; 0; 0; 11) darstellen. Diese drei Lösungen sind linear unabhängig; sie bilden deshalb eine Basis und der Vektorraum der Lösungen dieses LGS hat die Dimension 3.

ALLES WAS ROT ist verstehe ich leider nicht traurig

traurig

Das heißt ich weiß nicht wie man auf die Gleichungen für x_3 x_4 und x_5 kommt unglücklich

unglücklich

Hoffe du kanns mir da nun helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg risu

10.03.2007, 20:32

tigerbine

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Please wait... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit1 Kannst ja schon mal anfangen zu lesen, während ich den Rest schreibe

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10.03.2007, 20:48

tigerbine

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Ok, dann schreiben wir das mal anders auf. Das LGS Ax = 0 sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 5 & -2 \\ 1 & 7 & 9 & 2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei stellt die Matrix A eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} \varphi:~\mathbb R^5 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bzgl. zweier Basen der angegebenen VR dar. Im Normalfall gehen wir von der Standardeinheitsbasis aus.

Die Lösung des LGS Ax = 0 ist der Kern der lin. Abbildung. Dieser bildet einen Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ . Weiter gilt dass das Bild der lin. Abbildung ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist. In Formeln:

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) \subseteq \mathbb R^5,~\text{Im}(A) \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Anwenden des Gauss-Algo bringt das LGS auf die Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 5 & -2 \\ 0 & 11 & 19 & -1 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anhand der Treppenstufenform erkennt man, dass gilt rang(A) = 2. Mit dem Dimensionssatz folgt dann, defekt(A) = 3. Wir müssen also 3 lin. unabh. Vektoren bestimmen, die den Kern(A) erzeugen.

Kehren wir zum LGS zurück. Es ist unterbestimmt, das heißt, wir dürfen Variblen frei wählen. Dabei beginnt man "von hinten"

$\begin{eqnarray*} x_5 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = r \end{eqnarray*}$

Die restlichen beiden werden nun in abhängigkeit von diesen dreien bestimmt.

$\begin{eqnarray*} 11\cdot x_2 = -19\cdot r + s + 10 \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2 = -\frac{19}{11} \cdot r + \frac{1}{11}\cdot s + \frac{10}{11} \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 x_1 = -3x_2 +x_3 -5x_4+2x_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 x_1 = -3(-\frac{19}{11} \cdot r + \frac{1}{11}\cdot s + \frac{10}{11} \cdot t) +r -5s+2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{34}{11} \cdot r - \frac{29}{11}\cdot s - \frac{4}{11} \cdot t \end{eqnarray*}$

D.h. die Lösungsvektoren haben folgende Gestalt:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} \frac{34}{11} \cdot r - \frac{29}{11}\cdot s - \frac{4}{11} \cdot t \\ -\frac{19}{11} \cdot r + \frac{1}{11}\cdot s + \frac{10}{11} \cdot t \\ r \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das schreiben wir jetzt mal etwas anders:

$\begin{eqnarray*} x =r\cdot \begin{pmatrix} \frac{34}{11} \\-\frac{19}{11}\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} - \frac{29}{11} \\\frac{1}{11}\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} \frac{4}{11} \\ \frac{10}{11} \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgrund der Gestalt der letzten 3 Einträge je Vektor erkennen wir sofort, dass diese linear unabhängig sind und wir somit die gesuchte Basis gefunden haben:

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) = \text{span} (\begin{pmatrix} \frac{34}{11} \\-\frac{19}{11}\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} - \frac{29}{11} \\\frac{1}{11}\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} \frac{4}{11} \\ \frac{10}{11} \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

10.03.2007, 20:55

Risuku

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Zitat:

Original von tigerbine

D.h. die Lösungsvektoren haben folgende Gestalt:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} \frac{34}{11} \cdot r - \frac{29}{11}\cdot s - \frac{4}{11} \cdot t \\ -\frac{19}{11} \cdot r + \frac{1}{11}\cdot s + \frac{10}{11} \cdot t \\ r \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ok der untere Teil diner Lösung leuchtet mir ein.
Was ich nicht kenne als Schreibweise ist:

$\begin{eqnarray*} \varphi:~\mathbb R^5 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

und:

- $\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) \subseteq \mathbb R^5,~\text{Im}(A) \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

(Hast vllt wieder paar schlaue Links dazu?)

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) = \text{span} (\begin{pmatrix} \frac{34}{11} \\-\frac{19}{11}\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} - \frac{29}{11} \\\frac{1}{11}\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} \frac{4}{11} \\ \frac{10}{11} \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

ist das so formal richtig? also könnte ich das auch so in der klausur niederschreiben verwirrt

verwirrt

abgesehn von dem text xD) also was heißt Ker(A)?

thx ersma lg risu

10.03.2007, 21:15

tigerbine

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So ich bin jetzt durch. Würde das als Klausurtauglich ansehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was verstehst Du da nicht:

$\begin{eqnarray*} \varphi:~\mathbb R^5 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Ich habe der Abbildung einfach den Namen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gegeben. Und aufgeschrieben, zwischen welchen Vektorräumen sie abbildet. Meistens sind es $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n,~\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ . Deine Aufgabenstellung ist da ungenau. Im Grunde ist nur gegeben:

$\begin{eqnarray*} \varphi:~V \rightarrow W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dim(V) =5 \text{ und } \dim(W) = 2 \end{eqnarray*}$

Genauso ist nicht klar, aus welchen Körper die die Skalare stammen. Meistens soll es bei fehlenden Angaben eben $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein.

Was dann hier unklar ist, weiß ich nicht, so schreibt man eben Unterräume auf.

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) \subseteq \mathbb R^5,~\text{Im}(A) \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Allgemein:

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) \subseteq V,~\text{Im}(A) \subseteq W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\varphi) \subseteq V,~\text{Im}(\varphi) \subseteq W \end{eqnarray*}$

10.03.2007, 21:18

tigerbine

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Der Kern einer linearen Abbildung, ist die Menge der Vektoren $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ die durch die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (darsgestellt durch die Matrix A) auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Also ist Ker(A) die Lösung des LGS Ax = 0.

Die Dimension des Kerns nennt man defekt.

10.03.2007, 21:51

Risuku

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Also ersma wieso ich das nicht verstehe hihi Augenzwinkern

Augenzwinkern

es könnte daran liegen das wir das noch nicht hatten xD

Ich hoffe du nimmst mir das nicht übel aber ich habe IMMERNOCH einige fragen. Vllt hast du irgendwelche Links die mir da helfen könnten -.-:

- was heißt dim(W)=2 also woher kommt das W?
- was heißt genau "Abbildung" bzw was ist in diesem fall die Abbildung??
- was bedeutet diese schreibweise vertextet(in Worten):

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) \subseteq \mathbb R^5,~\text{Im}(A) \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ vormalllem der Teil ab Im

sorry wenn dir die fragen zimlich dämlich vorkommen aber wenn ich nicht genau weiß was diese ganzen Zeichen bedeutet kann ich mir halt nichts unter der aufgabe vorstellen -.-

lg risu

10.03.2007, 22:05

system-agent

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Zitat:

Original von Risuku
- was heißt dim(W)=2 also woher kommt das W?

das $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist lediglich die bezeichnung für den vektorraum, der die bildmenge der funktion enthält. einfach ein name.

Zitat:

Original von Risuku
- was heißt genau "Abbildung" bzw was ist in diesem fall die Abbildung?

eine abbildung ist eine funktion.

Zitat:

Original von Risuku
- was bedeutet diese schreibweise vertextet(in Worten):

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) \subseteq \mathbb R^5,~\text{Im}(A) \subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ vormalllem der Teil ab Im

das heisst, dass der kern $\begin{eqnarray*} \text{Ker} \end{eqnarray*}$ eine teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ ist und das bild $\begin{eqnarray*} \text{Im} \end{eqnarray*}$ der linearen abbildung eine teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

10.03.2007, 22:11

tigerbine

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@agent: Danke für Hilfe, aber warum darf ich nicht mal eine Essenspause machen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

@ Risuku:

Hast du nur aus Hektik in der Schulmathematik gepostet? Alle meine Bezeichnungen und Annahmen über dein Wissen beziehen sich auf die Vorlesung lineare Algebra I

Vektorraum

Lineare Abbildung

Rangsatz/Dimensionssatz

Dimensionsformel

10.03.2007, 22:18

Risuku

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also ich denke ich bin noch in der schule (12 klasse Mathe LK, habe zwar 15 punkte aber naja soweit bin ich noch net) aber ich will das einfach jetzt verstehen. kann ja net so schwer sein -.-

Ist W vielleicht die bezeichnung für den Lösungsraum?

also ich les mir das mal zu linearen abbildungen durch und meld mich wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich schreib ja erst montag.

http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung

lg risu

10.03.2007, 22:29

tigerbine

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Ok, ich hatte gefragt, weil wir das so in der Schule nicht hatten. Dann lies das mal durch. Auch die anderen Links. Kannst bei der Aufgabenstellung auch mal anmerken, dass die Angaben streng genommen zu ungenau sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wo sind wir... Bei diesen Aufgabenstellungen betrachten wir lineare Abbildungen, meist mit einem griechischen Buchsten, warum also nicht $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , bezeichnet zwischen 2 Vektorräumen V und W. Ich gebe denen jetzt mal die Namen:

V = "Startraum"
W = "Zielraum"

$\begin{eqnarray*} \varphi:~V \rightarrow W \end{eqnarray*}$

Bei solchen Abbildungen interressiert man sich dann meist für 2 Untervektorräume:

Den Kern, schreib $\begin{eqnarray*} Ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Das sind alle Vektoren x aus V, die durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf die Null des Zielraums W abgebildet werden.
Das Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , schreib $\begin{eqnarray*} Im(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Dass sind alle Vektoren aus W, auf die die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Vektoren aus V abbildet.

Was wir daraus schon erkennen ist, dass der Kern eine Teilmenge von V und das Bild eine Teilmenge von W ist. Man kann dann nachweisen, dass sie jeweils Untervekotorräume bilden. Verwendete Symbolik ist dann eben:

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(\varphi) \subseteq V,~\text{Im}(\varphi) \subseteq W \end{eqnarray*}$

10.03.2007, 22:40

Risuku

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Hab mich schon als besonders schwerer Fall gefühlt Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ich denke ich melde mich morgen nochmal nachdem ich alles durchgelesen habe.

Habe noch eine Verständnis Frage vorher:

Eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V und W bildet den Nullvektor von V auf den Nullvektor von W ab.

Was ist der Nullvektor von V und was is der Nullvektor von W und was heißt auf W abbilden?

lg risu
danke nochmals fürs NICHTAUFGABEN Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2007, 22:48

system-agent

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der nullvektor ist $\begin{eqnarray*} o=(0; ...; 0) \end{eqnarray*}$ . wenn die lineare abbildung den nullvektor auf den nullvektor von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ abbildet (was sie immer tut), bedeutet das $\begin{eqnarray*} f(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} 0_V \end{eqnarray*}$ = nullvektor in V, $\begin{eqnarray*} 0_W \end{eqnarray*}$ = nullvektor in W

10.03.2007, 23:00

tigerbine

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Das das 2 verschiedene sind, läßt sich an der Aufgabe schon gut einsehen. Wir Vektoren der Gestalt:

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ v_5 \end{pmatrix}, w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ linear ist, so gilt insbesondere:

$\begin{eqnarray*} \varphi(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann bis morgen Wink

Wink

11.03.2007, 23:38

Risuku

Auf diesen Beitrag antworten »

oh spät dran -.-

Der Kern einer linearen Abbildung, ist die Menge der Vektoren $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ die durch die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (darsgestellt durch die Matrix A) auf den Nullvektor von W abgebildet werden.

Was heißt das genau? die Lineare Abbildung war eine andere Bezeichnung für Lin. Funktion richtig?
Wichtig ist was heißt .... auf den Nullvektor von W abgebildet werden.

lg risu

11.03.2007, 23:43

tigerbine

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Abbildung versus Funktion.

Lineare Funktion

Ich würde hier sagen, dass ist gleich. Aber ich als LinAriker sage Abbildung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was das heißt, habe ich schon hingeschrieben. Also nochmal (im Bezug zum Beispiel)

$\begin{eqnarray*} \varphi(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Würde man nur schreiben:

$\begin{eqnarray*} \varphi(0)=0 \end{eqnarray*}$

ist eben nicht zu erkennen, dass es sich um verschiedene Nullvektoren handelt. Der eine ist aus einem VR V der Dimension 5, der andere aus dem Vektorraum W mit der Dimension 2. Deswegen schrieb der Kollege:

$\begin{eqnarray*} \varphi (0_V)=0_W \end{eqnarray*}$

11.03.2007, 23:49

Risuku

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ah ging schnell. ok was sich an die nullvektoren anschließt:

Der Kern einer linearen Abbildung, ist die Menge der Vektoren $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ die durch die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (darsgestellt durch die Matrix A) auf den Nullvektor von W abgebildet werden.

Also aus wievielen Vektoren besteht hier der Kern. vllt versteh ich das dann.
Wasich wissen wollte ist was folgendes bedeutet:

Vektoren auf den Nullvektor von W durch die lineare Abbildung abbilden.

lg risu

11.03.2007, 23:56

tigerbine

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Zitat:

Also aus wievielen Vektoren besteht hier der Kern

Also schauen wir wieder in das Beispiel...

$\begin{eqnarray*} \text{Ker}(A) = \text{span} (\begin{pmatrix} \frac{34}{11} \\-\frac{19}{11}\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} - \frac{29}{11} \\\frac{1}{11}\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} \frac{4}{11} \\ \frac{10}{11} \\ 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Das sind unendlich viele Vektoren, alle die man als Linearkombination dieser 3 linear unabhängigen Vektoren darstellen kann. Deswegen geben wir die Dimension an (und nicht die Anzahl) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Vektoren auf den Nullvektor von W durch die lineare Abbildung abbilden.

Der Sinn dieses Satzes entzieht sich mir.. Bitte sauber formulieren.

12.03.2007, 00:00

Risuku

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ok das erste versteh eich jetzt endlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

sorry is schon spät also neuer versuch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Menge von Vektoren $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ durch die/eine lineare Abbildung auf den Nullvektor von W abbilden.

Was heißt das?

lg risu

12.03.2007, 00:02

tigerbine

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Eine Menge von Vektoren bildet nicht ab, sondern wird abgebildet. Durch eine Abbildung/Funktion Augenzwinkern

Augenzwinkern

Woher stammt der Satz?

12.03.2007, 00:05

Risuku

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Der Kern einer linearen Abbildung, ist die Menge der Vektoren $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ die durch die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (darsgestellt durch die Matrix A) auf den Nullvektor von W abgebildet werden.

daraus habe das ende falsch gelesen. hast natürlich recht ^^.

also auf den "Nullvektor abbilden" heißt das das ergebnis der Abbildung/Funktion = 0 ist?

12.03.2007, 00:07

tigerbine

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Wobei mit 0 natürlich wieder der entsprechende Nullvektor gemeint ist. aber das hatten wir ja schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ebenso hat diese Menge von x-sen noch die Eigenschaft, ein Untervektorraum von V zu sein (Also mehr als nur eine Menge)

12.03.2007, 00:13

Risuku

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mit der menge von x-en meins du x_1 x_2 ..... x_5 ?
War das der grund hierfür:

$\begin{eqnarray*} \varphi:~\mathbb R^5 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

also PHI war die bezeichnung für die Zwei Untervktorräume die aus diesem LGS hervorgeben oder?

also die beidne Untervektorräume lagen einmal im R^2 und der andere im R^5, richtig?

also ein Vektorraum war im R^5. Ist es ein R^5 weil wir 5 x-se haben?

12.03.2007, 00:19

tigerbine

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Nein, mit den x-sen habe ich die Vektoren gemeint...

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist eine Lineare Abbildung (Funktion) die die Vektoren aus dem Vektorraum V (hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ ) in den Vektorraum W (hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ) abbildet. Daher schreibt man:

$\begin{eqnarray*} \varphi:~\mathbb R^5 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Ja, der Kern inst ein Untervektorraum von V und das Bild ein Untervektorraum von W.

V ist ein Vektorraum der Dimension 5, das ergab sich aus der Angabe des Vektors $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ siehe oben.

12.03.2007, 00:24

Risuku

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hmm langsam blick ich durch.
nun geht aber garnichts mehr rein.

ich danke dir für deine mühen. mal schauen wie die klausur HEUTE so wird.
Wünsch dir eine gute nacht.

lieben gruß risu

12.03.2007, 00:28

tigerbine

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Viel Erfolg. Neues Wissen soll sich ja im Schlaf festigen, also schlaf gut Schläfer

Schläfer

12.03.2007, 14:36

system-agent

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wir könnens ja auch mal an einem andren beispiel illustrieren. nehmen wir folgende funktion:
$\begin{eqnarray*} f:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
(ist offensichtlich nicht linear, aber egal)

es gilt wohl nur $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , das heisst
$\begin{eqnarray*} \text{Ker}f={0} \end{eqnarray*}$ . die funktion nimmt werte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ an (wobei ich bei der schreibung die null dazu rechne). daher ist $\begin{eqnarray*} \text{Im}f=\mathbb{R_+} \end{eqnarray*}$

eine menge von vektoren $\begin{eqnarray*} v_1;...;v_n \end{eqnarray*}$ spannt immer einen vektorraum auf, dazu schreibt man $\begin{eqnarray*} \text{span}(v_1;...;v_n) \end{eqnarray*}$ . dabei können die vektoren aber auch linear abhängig sein. mit der basis ist eine kombination der vektoren aus $\begin{eqnarray*} \text{span} \end{eqnarray*}$ gemeint, welche alle linear unabhängig sind und damit besitzt eine basis die minimalanzahl von vektoren um den vektorraum aufzuspannen. diese minimalanzahl nennen wir dimension.
ist also nun $\begin{eqnarray*} \text{span}(v_1;...;v_n) \end{eqnarray*}$ , aber nur $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, so nennt man $\begin{eqnarray*} B=(v_1;v_2;v_3) \end{eqnarray*}$ eine basis des vektorraums V. da in der basis genau 3 vektoren vorkommen schreibt man: $\begin{eqnarray*} \dim V=3 \end{eqnarray*}$ (dimension von V ist 3).

12.03.2007, 14:43

tigerbine

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Was soll dieses Beispiel bringen? Die Funktion ist nicht linear, daher doch föllig fehl am Platz. Du hättest Wenn schon eine Ursprungsgerade wählen müssen.

Desweiten sind Bild und Werteraum identisch, was bei der Erklärung der unterschiedlichen Nullvektoren auch nicht dienlich ist.

13.03.2007, 11:00

system-agent

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mir gings erstmal um die begrifflichkeiten Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2007, 16:07

tigerbine

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Lieber agent,

ich feue mich ja auch, dass Du bereit bist, so viel zu erklären. Nur wie wir im thread festgestellt haben, ist Risuku noch in der Schule und da sollten dann die Beispiele mit Bedacht gewählt werden, um nicht mehr Verwirrung zu stiften als sie erklären. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2007, 16:24

system-agent

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joa, deshalb hab ich eine bekannte funktion gewählt um den kern und das bild zu illustrieren. aber falls es verwirrt hat -> I'm sorry !

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