Komplexe Zahlen

23.09.2004, 22:53

blackearth

Komplexe Zahlen

Hi
Bei dieser Aufgabe handelt es sich mal wieder um eine Aufgabe aus einer Probeklausur.

Zitat:

Gegeben sind folgende komplexe Zahlen in Normalform:
$\begin{eqnarray*} z1=-4-3j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z2=3+\sqrt{3}j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z3=4-2j \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie:
$\begin{eqnarray*} \frac{z_1^{\ 3}\cdot (z_2^{\ *})^4}{\sqrt{z_3}} \end{eqnarray*}$
und geben Sie das Endergebnis wieder in Normalform an.

Dabei soll $\begin{eqnarray*} z_2^{\ *} \end{eqnarray*}$ die Konjugiert komplexe Zahl zu $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ sein und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist als Imaginäreinheit zu betrachten.

Dann fang ich mal an:
$\begin{eqnarray*} z_1^{\ 3}=(-4-3j)^3=44-117j=125\cdot e^{-j69,39^\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (z_2^{\ *})^4=(3-\sqrt{3}j)^4=-72-72\sqrt{3}j=144\cdot e^{-j120^\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_4=z_1^{\ 3}\cdot (z_2^{\ *})^4=125\cdot e^{-j69,39^\circ}\cdot 144\cdot e^{-j120^\circ}=18000\cdot e^{-j189,39^\circ} \end{eqnarray*}$

So hier muss ich die erste Frage stellen.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{z_3}=\sqrt{4,47\cdot e^{-j26,57^\circ}} \end{eqnarray*}$
Wenn ich die nte Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehe dann gibt es n Lösungen dafür. Gibt es in diesem Fall dann 2 Lösungen ?
dann würden ja letztendlich auch 2 Endergebnisse rauskommen ?!

Die beiden Möglichkeiten der Wurzel:
$\begin{eqnarray*} w_k=\sqrt{p}\cdot e^{j\frac{\phi+2\cdot k\cdot \pi}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_0=\sqrt{4,47}\cdot e^{-j\frac{26,57^\circ+2\cdot 0\cdot 180^\circ}{2}}=\sqrt{4,47}\cdot e^{-j13,285^\circ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_1=\sqrt{4,47}\cdot e^{j\frac{26,57^\circ+2\cdot 1\cdot 180^\circ}{2}}=\sqrt{4,47}\cdot e^{j166,715^\circ} \end{eqnarray*}$

Die Beiden Lösungen ergeben sich somit zu:
$\begin{eqnarray*} \frac{z_4}{w_0}=\frac{18000\cdot e^{-j189,39^\circ}}{\sqrt4,47\cdot e^{-j13,285^\circ}}=8513,71\cdot e^{-j176,105^\circ}=-8494,05-j578,32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{z_4}{w_1}=\frac{18000\cdot e^{-j189,39^\circ}}{\sqrt4,47\cdot e^{j166,715^\circ}}=8513,71\cdot e^{j3,895^\circ}=8494,05+j578,32 \end{eqnarray*}$

Gruß Tobi

EDIT by therisen: Latex-Code verbessert! ° = ^\circ

23.09.2004, 23:30

Poff

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RE: Komplexe Zahlen
... ich würde sagen, es gibt 2 Hauptlösungen
.

24.09.2004, 03:30

blackearth

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So ... hab mich gerade eben nochmal hinter die Aufgabe gesetzt und sie zu ende gerechnet.

Kann ja mal jemand kontrollieren wenn er Zeit und Lust hat smile

Gruß Tobi

24.09.2004, 04:57

Poff

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deine beiden Wurzeln müssten stimmen,
... das Resultat stimmt auch .

Bei der Wurzel bin ich mir nun nicht sicher ob die hier wirklich
2 deutig eingesetzt wird. Könnte sein, dass das nur bei Lösungen
von Gleichungen mehrfach zu deuten ist, die Fkt 'sqrt' selbst wie
im reelen auch nur einen Wert zugeordnet bekommt. (FKT !!)

Wenns so wäre, dann wäre deine Lösung z4/w0 die einzige . Augenzwinkern

24.09.2004, 14:05

blackearth

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Hab nochmal bissel nachgelesen ...
In meinem Mathebuch steht folgendes dazu:

Während Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten zu eindeutigen Ergebnissen führt, liefert das Ziehen der n-ten Wurzel stets n verschiedene Lösungen $\begin{eqnarray*} w_k \end{eqnarray*}$ .
Geometrisch interpretiert sind die Punkte $\begin{eqnarray*} w_k \end{eqnarray*}$ die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.

Denke mal man kann mir in der Klausur keine Punkte dafür abziehen wenn ich da 2 Ergebnisse raus habe wegen der Wurzel ... hoffe ich zumindest Augenzwinkern

Gruß Tobi

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