Finde Funktion, die folgende Bedinungen erfüllt

23.09.2004, 23:44	termionic	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde Funktion, die folgende Bedinungen erfüllt Hallo! Ich habe eine Frage zum Lösungsansatz des folgenden Beispiels: Bestimmen Sie eine ganz-rationale Funktion 3.Grades, deren Graph bei x=4 die x-Achse berührt und an deren Punkt (2/f (2)) die Tangente mit der Gleichung 4x+y-16=0 anliegt! Daraus lese ich, dass: Die Funktion eine Nullstelle bei x=4 haben soll und dass ihre 2. (?) Ableitung an der Stelle x=2 4x+y-16 sein soll? (2. Ableitung deshalb, weil die erste Ableitung einer Funktion 3. Grades ja eine quadratische Funktion wäre, hier ist aber eine Tangente gegeben - eine lineare Funktion also - ist meine Überlegung richtig?) Ich weiß nicht so recht, wie ich an dieses Beispiel herangehen soll. Ich könnte die Tangentengleichung 2 mal integrieren - aber wenn ich dabei das y in der Tangentengleichung mitschleppe, komme ich meinem Ziel wieder nicht näher. Könnte mir jemand vielleicht einen kleinen Hinweis geben, wie ich weiterkomme? Danke schön!
23.09.2004, 23:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finde Funktion, die folgende Bedinungen erfüllt Tangente: Die tangente ist ja nur die Gerade an den Graphen, sie ist aber nicht die (eine) Ableitung! Ihre Steigung ist die erste Ableitung. Also berechne die Steigung m der Geraden. Dann hast du: $\begin{eqnarray} m=f'(2) \end{eqnarray}$ "...bei x=4 die x-Achse berührt" Da sie die x-Achse dort berührt, ist 4 eine doppelte Nullstelle!! Die zweite Bedingung aus Berühren bekommst du über Ableitung (wie groß ist denn die Steigung bei x=4?).
24.09.2004, 00:09	koRn	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tangentengleichung lautet $\begin{eqnarray} g(x) = -4x+16 \end{eqnarray}$ Das heißt, dass die erste Ableitung den Funktionswert -4 besitzt an der Stelle x=2. Weiter hast du die Nullstelle bei x=4 .Noch dazu weißt du , dass $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ an der Stelle x=2 den gleichen Funktionswert besitzen. Somit hast du schon drei , der vier Bedingungen um eine Funktion dritten Grades zu bestimmen . $\begin{eqnarray} f(x)= ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=6ax^2+2b \end{eqnarray}$ //edit Die vierte Bedingung hat MSS schon genannt. Somit kannst du nun die Koeffizienten bestimmen um die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ herzuleiten.

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