Basis

24.09.2004, 11:08

dilemma

Basis

Hallo!
Wie kann man am einfachsten zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5\\6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ bilden?

EDIT by therisen: Latex-Code verbessert.

24.09.2004, 11:14

dilemma

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sorry, habe aus Versehen statt auf Vorschau auf Beitrag erstellen geklickt..ups
$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4\\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 5\\6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v_1, ..., v_4 sind ja schon mal l.u, reicht das?
Was auffällt ist, dass die die Matrix aus v_1...v_4 symmetrisch ist, sagt das irgendwas aus?

PS: Wer Rechtschreibfehler findet, darf sie behalten, wer keinen Bock hat zu antworten oder für wen das alles zu trivial ist, darf sich geschlossen halten, DANKE smile

24.09.2004, 12:00

onkel albert

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Ein paar Möglichkeiten (je nachdem, was du davon kannst):

1) Linerarkombination bilden, gleich Null sezten und die 4 Gleichungen
mit 4 Variablen lösen (viel Aufwand)

2) 4 x 4 Matrix bilden und auf Zeilenstufenform bringen

3) Determinante der Matrix ausrechnen (wenn ungleich Null, dann lin.
unabh.)
Ist aber bei einer 4 x 4 auch etwas Arbeit ...

such dir was aus

24.09.2004, 12:15

dilemma

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Hallo Onkel Albert,
dass die Teile linear unabhänig sind, weiß ich ja schon.
Meine Frage war ja, ob das reicht um zu sagen: $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_4 \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

24.09.2004, 12:21

onkel albert

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Wenn's nur um ÍRGENDEINE Basis geht, reicht das

24.09.2004, 12:25

dilemma

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In der Aufgabenstellung steht:
Bildet das System $\begin{eqnarray*} B={v_1, v_2, v_3, v_4} \end{eqnarray*}$ eine Basis im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ?
Dann wird's wohl stimmen..
Also dann, vielen Dank! smile

24.09.2004, 14:43

Mazze

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Definition

Die Basis eines $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Die maximale Anzahl linear Unabhängiger Vektoren ist n (für Vektorräume R^n). Da Du lineare Unabhängigkeit bereits kennst und Du genau 4 Vektoren hast bilden diese eine Basis.

24.09.2004, 15:13

dilemma

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$\begin{eqnarray*} A(v_i)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&0 \\ 2 & 3 & 0&4 \\ 3 & 0 & 4&5\\0&4&5&6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist ja symmetrisch, welche Eigenschaften haben denn symmetrische Matritzen? Oder ist das hier sinnlos sich darüber Gedanken zu machen?

24.09.2004, 15:20

Poff

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Zitat:

Original von dilemma
In der Aufgabenstellung steht:
Bildet das System $\begin{eqnarray*} B={v_1, v_2, v_3, v_4} \end{eqnarray*}$ eine Basis im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ?
Dann wird's wohl stimmen..
Also dann, vielen Dank! smile

vor allen Dingen ist der Schluss den du hieraus ziehen willst falsch.
Aus dem Aufgabentext folgt in keinster Weise, dass die
4 Vektoren linear unabhängig sind ...

'Das' sollst du ja gerade nachweisen :-oo
.

24.09.2004, 16:08

dilemma

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Ob die vier Vektoren linear unabhängig sind, hab ich vorher schon geprüft, in dem ich die Matrix aus den Vektoren auf Dreiecksgestalt gebracht habe, auf der Diagonalen steht keine Null, also ist die Determinante ungleich Null <=> max Rang <=> invertierbar, also sind v_1, ..., v_4 l.u.
Mir fiel auf, dass die Matrix symmetrisch ist, da dachte ich mir, dass man sich das Umformen evtl. sparen könnte. Vielleicht haben symmetrische Matrizen ja immer max. Rang, oder so.
Und ich wußte bis gerade nicht, dass es reicht zu zeigen, dass {v_1, ...,v_4} eine Basis von |R^4 ist, wenn v_1, ..., v_4 l. u. sind, aber ist (jetzt)klar.

24.09.2004, 16:10

Mazze

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@Poff, soweit ich weiß kennt er schon die lineare Unabhängigkeit (hat er etwas weiter oben gesagt)

Zitat:

Oder ist das hier sinnlos sich darüber Gedanken zu machen?

Ich bin mir nicht 100 pro sicher ob man das über die Symmetrie machen kann, man kanns aber über die Determinante machen. (Wie Onkel Albert schongesagt hat)

Satz

Ist die Determinante einer Matrix ungleich 0 so sind die Spalten der Matrix linear unabhängig. Das ist eine Genaudannwenn-Beziehung. D.h ist die Determinante = 0 folgt lineare Abhängigkeit.

24.09.2004, 17:35

Poff

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@Mazze,

ist, 'eine Basis von R4' nicht äquivalent zu 'vier linear unabhängigen
Vektoren' ... ?? Ich bin nicht sonderlich fit auf dem Eck, deswegen
frag ich so blöd, meine allerdings dass das so wäre.

Mit anderen Worten das kann doch dann nicht in der Aufgabe-
vorraussetzung gestanden habe ...., oder war das so gemeint,
dass er die linarere Unab. SCHON nachgewiesen hatte.

Nur dann versteh ich seine Frage nicht, es sei, er wusste nichts
von der 'Gleichwertigkeit', oder ICH liege falsch damit . Augenzwinkern

24.09.2004, 18:33

carsten

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zur Symmetrie: eine symmetrische Matrix hat im allgemeinen keinen vollen Rang. Man stelle sich nur mal Matrizen vor in denen nur 1'en oder nur Nullen stehen ...

24.09.2004, 18:40

Mazze

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Zitat:

'eine Basis von R4' nicht äquivalent zu 'vier linear unabhängigen

Nein, Du musst spezifizieren. Eine Basis aus dem R^4 ist äquivalent zu vier linear unabhängigen Vektoren des R^4. In etwa könntest Du 4 linear unabhängige Vektoren aus dem C[0,1] (Raum der stetigen Funktionen auf (0,1)) nehmen. Dann wäre die Aussage schon falsch.

Zitat:

...., oder war das so gemeint, dass er die linarere Unab. SCHON nachgewiesen hatte.

So hab ichs verstanden Big Laugh

24.09.2004, 22:06

dilemma

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Zitat:

...., oder war das so gemeint, dass er die linarere Unab. SCHON nachgewiesen hatte.

So hab ichs verstanden Big Laugh

So war's auch gemeint, die Lineare Unabhänigkeit der Vektoren hatte ich bereits überprüft(dabei tat sich die Frage mit den symmetrischen Matrizen auf), war mir aber nicht sicher, ob das ausreicht um sagen zu können, dass die Vektoren eine Basis bilden.
Ist aber jetzt klar, vielen Dank.

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