schranken für n²+n

25.09.2004, 11:44

xandl33

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schranken für n²+n

hi
kann mir jemand mit dem Bsp helfen:
ich müßte herausfinden ob n²+n | n € N nach unten bzw. nach oben beschränkt sind.

ich hätte mir gedacht, dass diese funktion eigentlich nur nach unten beschränkt sein kann.
wenn ich n für 0 einsetze kommt 0 raus also müßte dies doch die größte untere schranke sein.
wenn ich für n= unendlich einsetze würde unendlich rauskommen, also kann es keine obere schranke geben.

weiters wäre es noch für folgende funktionen zu beantworten:
n²-n
-n²+n
-n²-n

bei denen hät ich auch gesagt, sie nach unten beschränkt sind.

kennt vielleicht jemand einen guten link bzw. gutes buch für Mengenlehre ?

25.09.2004, 12:39

Romeo

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Richtig, die untere Schranke liegt bei 0, der Grenzwert ist unendlich.

Somit liegt deine Funktion im Intervall [0 / unendlich[

25.09.2004, 12:40

therisen

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$\begin{eqnarray*} n^2+n \end{eqnarray*}$ ist in der Tat nach unten beschränkt (die Schranke ist wie du sagst die Null). Die Frage ist, ob du das zeigen/beweisen musst oder ob es einfach langt, wenn du das Ergebnis hinschreibst. Bist du noch in der Schule, so langt höchstwahrscheinlich letzteres.

25.09.2004, 12:44

Poff

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RE: schranken für n²+n
mit Mengenlehre hat das weniger zu tun ...

n²+n | n aus N nach unten bzw. nach oben beschränkt sind.

hier liegst du richtig, wenn auch deine Begründungen so nicht
'hinkommen'. Unendlich kannst nicht einsetzen, dafür gibts
keine Rechenvorschrift .... und dass irgenwo NULL rauskommt
belegt AUCH nicht dass damit nach unten beschränkt ...

Die Begründungen musst überarbeiten ....
und für die anderen Beisspiele triffts auch nicht generell so zu

Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.09.2004, 12:50

Calvin

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RE: schranken für n²+n
Dass alle 4 Folgen für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ streng monoton sind, dürfte ja klar sein. Wenn nicht, dann schreibe dir die Ausdrücke als Funktion, z.B. f(x) = x^2+x und leite es ab. Da die Steigung für größere x auch immer größer wird, ist die Funktion nach oben unbeschränkt. Analog kann man auch die anderen Folgen angehen.

Die anderen 3 Folgen sind übrigens nicht alle nach unten beschränkt. Schau dir nochmal genau die Vorzeichen an.

Und noch eine Frage von mir: ist das "Umschreiben" einer Folge als Funktion mathematisch formal korrekt? Oder sollte man das nur als Hilfestellung nutzen?

Gruß
Tobi

25.09.2004, 13:05

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} n^2+n \end{eqnarray*}$ ist in der Tat nach unten beschränkt (die Schranke ist wie du sagst die Null).

Es gibt unendlich viele untere Schranken, die Frage ist, ob 0 die größte untere Schranke ist, also das Infinum.

@xandl33
Welche Menge ist N (die natürlichen Zahlen) bei dir?? Gehört die 0 bei euch dazu? Wenn nicht, wäre 0 nicht Infinum!

@Calvin

Zitat:

Und noch eine Frage von mir: ist das "Umschreiben" einer Folge als Funktion mathematisch formal korrekt? Oder sollte man das nur als Hilfestellung nutzen?

Eine Folge ist definiert als eine Funktion!! Nämlich als eine Funktion der Menge N in die Menge R. Sei eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegeben, so ist sie als Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgendermaßen darstellbar:

$\begin{eqnarray*} f(n)=a_n\ \forall\ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ ist eine Abkürzung für "für alle"!

Das heißt, du kannst die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n^2+n \end{eqnarray*}$ auch in die Funktion f mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+x \end{eqnarray*}$

umschreiben, wenn du nur unbedingt anmerkst, dass die Funktion nur für natürliche x definiert ist!!

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25.09.2004, 13:14

xandl33

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@ therisen
eigentlich muß ich es beweisen was auch mein problem darstellt, ich hab keine ahnung wie ich das anschreiben soll.

@ Mathespezialschüler

0 gehört bei diesen bsp. zur menge der natürlichen zahlen

25.09.2004, 13:21

Mazze

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Ich würde es über einen Widerspruch zeigen. Ich nehme an es existierte doch eine obere Schranke für n^2 + n, so gibt es ganz sicher ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in N \end{eqnarray*}$ so dass alle $\begin{eqnarray*} n^2 + n < n_0 \end{eqnarray*}$ sind. Man zeigt aber ganz schnell das $\begin{eqnarray*} n_0^2 + n_0 \end{eqnarray*}$ auch ein Folgenglied ist und es ist $\begin{eqnarray*} n_0^2 + n_0 > n_0 \end{eqnarray*}$ . Was heißt das im Endeffekt?

25.09.2004, 13:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von xandl33
eigentlich muß ich es beweisen was auch mein problem darstellt, ich hab keine ahnung wie ich das anschreiben soll.

Wenn du es beweisen musst, dann musst du dir erstmal überlegen, was du beweisen musst! Du musst beweisen, dass $\begin{eqnarray*} a_n=n^2+n \end{eqnarray*}$ nach unten beschränkt ist. Jetzt musst du dir erstmal überlegen, was denn "nach unten beschränkt" mathematisch heißt, es also in mathematische Schreibweise umschreiben!
Dann musst du diese mathematische Aussage beweisen!

25.09.2004, 13:23

xandl33

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@ calvin

nachdem die funktionen -n²+n und -n²-n im gegensatz zu den anderen beiden funktionen ein neg. vorzeichen aben müßten diese dann eigentlich noch oben hin bescnränkt sein (ist das so o.k ?)

25.09.2004, 13:27

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von xandl33
@ calvin

nachdem die funktionen -n²+n und -n²-n im gegensatz zu den anderen beiden funktionen ein neg. vorzeichen aben müßten diese dann eigentlich noch oben hin bescnränkt sein (ist das so o.k ?)

Das ist kein Beweis und mathematisch korrekt ist es auch nicht. Außerdem hat bei der einen Folge nur der quadratische Teil ein negatives Vorzeichen.

25.09.2004, 13:34

xandl33

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von xandl33
@ calvin

nachdem die funktionen -n²+n und -n²-n im gegensatz zu den anderen beiden funktionen ein neg. vorzeichen aben müßten diese dann eigentlich noch oben hin bescnränkt sein (ist das so o.k ?)

Das ist kein Beweis und mathematisch korrekt ist es auch nicht. Außerdem hat bei der einen Folge nur der quadratische Teil ein negatives Vorzeichen.

wie müßte es dann ausschauen (das es kein beweiß ist weiß, das is ja auch mein problem, ich weiß nicht wie ich es als beweiß schreiben muß ) ?

25.09.2004, 13:44

Mathespezialschüler

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Machen wir doch erstmal eine Folge. Zuerst nochmal: Das Zeichen $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ bedeutet "für alle". Die erste Folge:

$\begin{eqnarray*} a_n=n^2+n\ \ \forall\ n\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann gilt nach Definition:

es gibt eine reelle Zahl r, sodass

$\begin{eqnarray*} r\leq a_n\ \ \forall\ n\in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du halt beweisen, dass die Folge immer größer als oder gleich irgendeiner reellen Zahl ist. Das machst du am besten so:
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sreng monoton steigend ist, dass also gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, dass alle $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_0 \end{eqnarray*}$ sind und somit wegen $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ und dann bist du fertig.

25.09.2004, 13:48

xandl33

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dankeschön, werd mir jetzt mal die bsp anschauen.

25.09.2004, 13:50

Mazze

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Hinweis

aus

$\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$

folgt nicht das die Folge nach oben unbeschränkt ist. Den Fehler hatte ich früher gern gemacht.

25.09.2004, 13:51

Mathespezialschüler

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Mach doch mal das, was ich eben gesagt hab! Zeig mal, dass

$\begin{eqnarray*} a_n<a_{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt!
Dann kontrollieren wir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mazze
Hinweis

aus

$\begin{eqnarray*} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray*}$

folgt nicht das die Folge nach oben unbeschränkt ist. Den Fehler hatte ich früher gern gemacht.

Das stimmt natürlich. Falls es an mich gerichtet war: Mit dem "dann bist du fertig" meinte ich auch nur die Beschränktheit nach unten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man muss dann natürlich noch zeigen, dass sie nach oben unbeschränkt ist (bestimmt divergiert).

25.09.2004, 14:08

Mazze

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Der Hinweis war für xandl gedacht smile

smile

25.09.2004, 14:57

andim

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du kannst die unter schranke leichtbweisen mit

n² > n

damit wird die Gleichung immer positiv, mit außnahme von 0 8)

26.09.2004, 08:46

xandl33

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@ mathespezialschüler

kennst du vielleicht einen link der sich aufführlich mit diesen thema beschäftigt, da ich mit dieser von bsp überhaupt nichts anfangen kann.

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