Rang einer Matrix (allgemein)

25.09.2004, 14:34

Romeo

Rang einer Matrix (allgemein)

Wie bestimme ich allgemein den Rang einer Matrix? Im Workshop steht ja leider noch nichts dazu. Evtl. mit einem leichten, einleuchtenden Beispiel. Das wäre sehr nett verwirrt

25.09.2004, 15:10

Mazze

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Den Rang einer Matrix bestimmt man mittels dem Gaußschen Eliminierungsverfahren. Dabei wird die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht, und die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen liefert den Rang

Beispiele

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix hat den Rang 3, in diesem Fall spricht auch vom "vollen Rang" da keine Zeile = 0 ist.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ 0 & 0 & b_1 & b_2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix hat den Rang 2.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c_1 & c_2 &c_3 \\ 0 & 0 & 0 & d_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welchen Rang hat diese Matrix?

25.09.2004, 15:23

Romeo

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Die letzte müsste den Rang 3 haben. Kann man daran auch lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit ersehen?

25.09.2004, 15:25

Mazze

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Rang 3 ist richtig. Die Zeilen einer Matrix in Zeilenstufenform sind immer linear unabhängig, da die linear abhängigen Zeilen in Nullzeilen übergehen. In etwa liefert der Rang die Größe der Basis des Zeilenraumes.

edit

Vorsicht, die Zeilen sind linear unabhängig nicht die Spalten. Willst Du die Basis des Spaltenraumes erreichen musst Du die MAtrix vorher transponieren!

10.10.2004, 12:44

Pole20

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??habe das jetzt nicht ganz gerafft
Woran erkennst du jezt bei den Einzelnen um welchen Rang es sich da handelt.

Kann da jemand bitte eine Total ausführliche Antwort darauf geben.?
Wäre sehr dankbar.

Vektor a = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Vektor b = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Vektor c = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie den Rang des Systems der folgenden drei Vektoren:

edit: versuch mal Doppelposts zu vermeiden. nutze die Editfunktion.

10.10.2004, 14:21

Mazze

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Zitat:

Woran erkennst du jezt bei den Einzelnen um welchen Rang es sich da handelt.

Meine Antwort

Zitat:

und die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen liefert den Rang

Ich hoffe Du weißt was ich mit "von 0 verschieden meine". Ich zähle einfach ALLE Zeilen die NICHT 0 sind. Und die Anzahl jener Zeilen die nicht null sind sind der Rang. Vorrausgesetzt ist natürlich das die Matrix Zeilenstufenform oder auch obere Dreiecksform (is das selbe) hat.

03.05.2005, 17:07

The_Lion

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ist es wirklich so, dass man, wenn man die Zeilenstufenform erreicht hat, nur noch (abgesehen von der Nullzeile) die linear UNabhängigen Zeilen stehen hat ?

Danke.

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