Integralrechnung, Fläche zw. sinx und cosx

25.09.2004, 17:47

RedFlash

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Integralrechnung, Fläche zw. sinx und cosx

Hi Leute,
mir bereitet folgende Aufgabe Schwierigkeiten, da ich mit sin/cos hier ein bißchen auf kriegsfuß stehe Augenzwinkern

Augenzwinkern

man soll im Intervall [a=0;b=2pi] die zwischen f(x) und g(x) liegende Fläche A berechnen wobei
f(x) = sinx und
g(x) = cosx
ist.

d.h. doch ich muss erst die Schnittpunkte von sinx und cosx bestimmen:
pi/4 und wie komme ich auf den anderen der zwischen pi und 3pi/2 liegt? -> siehe FS Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danach die Integrale von 0 bis pi/4, von pi/4 bis ?, und von ? bis 2pi ausrechnen unter Beachtung der Nullstellen von sinx und cosx..
und wenn ich beide Flächen hab, sie noch voneinander abziehen, damit ich die Fläche zw. sinx und cosx erhalte..
Aber wie komme ich auf diesen zweiten Schnittpunkt?

Viele Dank schon mal für eure Bemühungen

25.09.2004, 17:52

Mathespezialschüler

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RE: Integralrechnung, Fläche zw. sinx und cosx
Dann zeig usn doch mal, wie du auf den ersten gekommen bist!

25.09.2004, 17:55

RedFlash

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hehe,
pi/4 steht in der FS, da gibts ne schöne Zeichnung von sinx und cosx und wo sie sich schneiden. Beim 2. SP steht leider kein Wert unglücklich

unglücklich

25.09.2004, 18:02

Mathespezialschüler

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1. Möglichkeit: Machs dir am Einheitskreis klar
2. Möglichkeit: $\begin{eqnarray*} \sin(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=\sin^2(x)+\cos^2(x)=2\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

arcsin bilden einmal für + und einmal für -. Dann hast es raus!

25.09.2004, 18:24

grybl

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3. Möglichkeit

sin und cos haben die Periode $\begin{eqnarray*} 2\cdot \pi \end{eqnarray*}$

also Schnittpunkte bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \pm n\cdot \pi \end{eqnarray*}$

warum siehe spätere Erklärung von MSS

smile

smile

25.09.2004, 18:24

RedFlash

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hmm.. also ich hab mit sin und cos echt nix am hut, ausser
additionstheoreme und Funktionswerte nachgucken Augenzwinkern

Augenzwinkern

also zur 2. möglichkeit:

leuchtet mir ein mit der Grundbeziehung, aber
meintest du arcsin von +- 1/ "wurzelaus"2 bilden,
und jetzt ne ganz doofe frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie mach ich das?

mit TR oder weiter umformen?

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25.09.2004, 18:32

Mathespezialschüler

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Du hast

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

also einmal

$\begin{eqnarray*} \sin(x_1)=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x_1=\arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

und das andere:

$\begin{eqnarray*} \sin(x_2)=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} x_2=\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \end{eqnarray*}$

Damit hast du 2 Lösungen für x. Wie du das machst: In den TR eingeben.

@grybl
sin und cos sind aber 2pi-periodisch, nur ihre Schnittpunkt sind pi-periodisch, da tan pi-periodisch ist.
Daraus ergibt sich noch ne Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x)=1 \end{eqnarray*}$

und dann kann man auch einfach für $\begin{eqnarray*} \tan(x)=1 \end{eqnarray*}$ alle Lösungen in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0;\pi] \end{eqnarray*}$ mit dem TR und der Beziehung $\begin{eqnarray*} \tan(x)=\tan(x+k\pi)\ \ \ k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bestimmen.

25.09.2004, 18:33

RedFlash

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@grybl

traurig

sitz auf der Leitung...
also n=4 ? verwirrt

verwirrt

25.09.2004, 18:34

RedFlash

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@Mathespezialschüler
jau, danke

25.09.2004, 18:40

grybl

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@MSS: Danke, habe den 2er vergessen :P

bessere es aus

@Redflash:

für n kannst du jede natürliche Zahl einsetzen. In deinem gesuchten Intervall kommt für n nur 0 und 1 in Frage.

25.09.2004, 18:46

RedFlash

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@grybl
d.h. der zweite SP liegt bei pi/4 +- pi für n=1
also wenn ich mir das grafisch betrachte dann nur
-3pi/4 wegen negativem Funktionswert!

25.09.2004, 18:51

grybl

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$\begin{eqnarray*} -\frac{3\cdot \pi}{4} \end{eqnarray*}$ liegt doch nicht im gegebenen Intervall.

nimm das + und nicht das -

25.09.2004, 18:56

RedFlash

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aha, in Ordnung.
ich denke ich habs jetzt verstanden.
war ne echte wissenslücke!

danke euch einem anfänger etwas geholfen zu haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg

25.09.2004, 19:08

grybl

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und wie lautet nun der Schnittpunkt.

Ich habe gerade gesehen, dass mein letzter Post

Zitat:

nimm das + und nicht das -

missverstanden werden könnte.

Ich meine natürlich das + vom $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \pm n\cdot \pi \end{eqnarray*}$ .

Für solche Beispiele ist auch immer eine Tabelle gut, aus der hervorgeht, in welchem Quadranten die Winkelfunktionen welches Vorzeichen haben.

Bezogen auf dieses Beispiel ersiehst du dann aus der Tabelle, dass sin und cos im 1. und 3. Quadranten das gleiche Vorzeichen haben.

Falls Quadrant nicht geläufig: 2 sich rechtwinklig schneidende Gerade zerlegen ihre Ebene in 4 Quadranten.

28.09.2004, 14:50

RedFlash

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uups, noch ein post. smile

smile

2. SP ist 5pi/4
Gesamtfläche aus allen Integralen war damit 4*wurzelaus2

mfg

28.09.2004, 21:07

Mathespezialschüler

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Beides richtig! :]

29.09.2004, 10:56

RedFlash

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*lol* danke für eure hilfe!!!

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