Differentialgleichung

26.09.2004, 14:23	loony	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Hallo, ich habe Probleme bei folgender Übungsaufgabe, da komm ich nicht dahinter, wie ich überhaupt anfangen soll: Die Differentialgleichung eines RL-Kreises lautet di / dt + 20i = 10 cos (2t) Bestimme den zeitlichen Verlauf der Stromstärke i für den Anfangswert i(0) = 0. Wäre schön, wenn mir jemand das erklären kann. Danke loony
26.09.2004, 16:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Die Differentialgleichung hat die Form y' + 20y = 10cos(2x) [t = x, y = i] Zunächst lösen wir die homogene Diffgleichung: y' + 20y = 0 und machen dafür den Ansatz $\begin{eqnarray} y = A \cdot e^{bx} \ [A \neq 0] \end{eqnarray}$ , das ergibt eingesetzt $\begin{eqnarray} Ab \cdot e^{bx} + 20A \cdot e^{bx} = 0, \end{eqnarray}$ daraus A(b + 20) = 0 b = -20 $\begin{eqnarray} y_h = Ae^{-20x} \end{eqnarray}$ .. Lösung der homogenen DGleichung Um zur Gesamtlösung* zu kommen, braucht man noch eine partikuläre Lösung $\begin{eqnarray} y_p \end{eqnarray}$ , die Gesamtlösung $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist dann die Summe $\begin{eqnarray} y = y_h+y_p \end{eqnarray}$ . Eine partikuläre Lösung erhält man durch sogenannte Variation der Konstanten bei der "Störfunktion" auf der rechten Seite, die eine trigonometrische Funktion ist. Wir setzen y = ucos(2x) + vsin(2x) in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalten: -2usin(2x) + 2vcos(2x) + 20ucos(2x) + 20vsin(2x) = 10cos(2x) Koeffizientenvergleich: -2u + 20v = 0 2v + 20u = 10 ---------------------- $\begin{eqnarray} u = \frac{50}{101}; v = \frac{5}{101} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_p = \frac{50}{101}cos(2x) + \frac{5}{101}sin(2x) \end{eqnarray}$ Gesamtlösung: $\begin{eqnarray} y = Ae^{-20x} + \frac{50}{101}cos(2x) + \frac{5}{101}sin(2x) \end{eqnarray}$ Auf den WS-Kreis zurückgerechnet $\begin{eqnarray} i = Ae^{-20t} + \frac{50}{101}cos(2t) + \frac{5}{101}sin(2t) \end{eqnarray}$ A ist die Amplitude des Stromes, mittels der Randbedingung i(0) = 0 ist diese berechenbar: $\begin{eqnarray} A + \frac{50}{101} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = - \frac{50}{101} \end{eqnarray*}$ Gr mYthos
26.09.2004, 16:34	DasSchnelleU	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Hoffe, ich habe mich nicht allzusehr verrechnet: di/dt = i´ i´+ 20 i = 10 cos (2t) über: "Variation der Konstanten" homogener Therm: i´+ 20i = 0 => Ansatz: i(t) = k(t) e^(-20t) abgeleitet nach Produktregel: i´(t) = k´(t) e^(-20t) + k(t) (-20) e^(-20t) i(t) und i´(t)in Ursprungsgleichung eingesetzt und nach k´(t) aufgelöst ergibt: k´(t) = 10 cos (2t) e^(20t) integriert ergibt das (über partielle Integration): k(t) = e^(20t) * ((100/202 cos (2t) + 10/202 sin (2t)) das eingesetzt in: i(t) = k(t) e^(-20t) ergibt: i(t) = 100/202 cos (2t) + 10/202 sin (2t) wie gesagt, wenn ich mich nicht verrechnet habe!!! Gruss DasSchnelleU
26.09.2004, 17:46	DasSchnelleU	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppala, da ist mir doch die Integrationskonstate abhanden gekommen....
26.09.2004, 17:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Das..U warst ein bisserl zu schnell ;-). Die von dir ermittelte Lösung ist als partikuläre Lösung richtig (Brüche durch 2 kürzen). Du musst dazu nur noch wie beschrieben die allgemeine Lösung der homogenen Diff.Gleichung addieren
26.09.2004, 17:50	DasSchnelleU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das fiel uns irgendwie zeitgleich auf ;o) Danke für die Verbesserung, Gruss
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27.09.2004, 19:20	loony	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für die schnelle Hilfe. Gruss loony

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