Wurzelkriterium: Was mache ich falsch?

11.03.2007, 19:08

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

Wurzelkriterium: Was mache ich falsch?

Ich sollte zum Schluss kommen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{n\cdot log(n)} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Mit dem Wurzelkriterium kriege ich aber folgendes:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to {\infty}} \sqrt[n]{ \mid \frac{1}{n\cdot log(n)} \mid } = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{log(n)}} \end{eqnarray*}$

und dieser ist für n > 3 sicher kleiner als 1, also konvergiert nach Wurzelkriterium die Reihe doch absolut?

11.03.2007, 19:10

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzelkriterium: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von Harald Kurse
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to {\infty}} \sqrt[n]{ \mid \frac{1}{n\cdot log(n)} \mid } = \frac{1}{\sqrt[n]{log(n)}} \end{eqnarray*}$

Also bei dieser Gleichheit melde ich Bedenken an. Nochmal überprüfen!

11.03.2007, 19:15

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ \mid \frac{1}{n\cdot log(n)} \mid } = \sqrt[n]{ \frac{1}{n\cdot log(n)}} \end{eqnarray*}$ da grosse n positiv sind
$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{log(n)}} = \frac{1}{\sqrt[n]{log(n)}} \end{eqnarray*}$

11.03.2007, 19:19

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

Uuups, ja ich seh den Fehler selbst. Die 8 Stunden Mathe hinterlassen langsam ihre Spuren.

11.03.2007, 19:22

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber zumindest
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{log(n)}} \end{eqnarray*}$ stimmt, nicht?

Und hier ist doch der Zähler für n > 3 sicherlich grösser als 1?

11.03.2007, 19:27

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du jetzt noch $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ davorschreibst, stimmts. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gut zum Thema: Mutmaßungen über den Limes Superior sind zwar schön und gut, bringen dich aber nicht zum Ziel. Also größten Häufungspunkt ausrechnen/bestimmen!

Anzeige

11.03.2007, 19:32

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich sehs. Das gibt wieder so einen Fall, wo der limsup gerade 1 ist. Damit bringt mich dann das Wurzelkriterium in diesem Fall nicht weiter.

11.03.2007, 19:37

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Harald Kurse
Ah, ich sehs. Das gibt wieder so einen Fall, wo der limsup gerade 1 ist.

Schon wieder nur vermutet. AUSRECHNEN!

11.03.2007, 19:54

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nötig, ich habs mit dem Plotter bewiesen. Big Laugh

Big Laugh

Nee, wenn ich morgen nicht Prüfungen hätte, würd ichs mir überlegen, aber ich muss noch ein paar andere Dinge anschauen.

Danke jedenfalls und schönen Abend

Harald

12.03.2007, 08:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzelkriterium: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von Harald Kurse
Ich sollte zum Schluss kommen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{n\cdot log(n)} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Da die Summation nicht über n geht, ist diese Reihe divergent. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}~\frac{1}{n\cdot log(n)} \end{eqnarray*}$ ist divergent, wie man mit folgender Überlegung zeigen kann:

Zunächst ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\cdot log(n)} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Folge. Nun gilt für k>=2:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^{2^k}~\frac{1}{n\cdot log(n)} = \sum_{j=2}^{k}~\sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j}~\frac{1}{n \cdot log(n)} \geq \sum_{j=2}^{k}~\sum_{n=2^{j-1}+1}^{2^j}~\frac{1}{2^j \cdot log(2^j)} = \sum_{j=2}^{k}~2^{j-1} \cdot \frac{1}{2^j \cdot j \cdot log(2)} = \sum_{j=2}^{k}~\frac{1}{2j \cdot log(2)} \end{eqnarray*}$

Und damit haben wir eine divergente Minorante.

12.03.2007, 09:21

Monstar

Auf diesen Beitrag antworten »

frage: ist denn nicht n*log(n) = log(n^n)? oder bringt das hier nichts?

12.03.2007, 09:32

Popeye

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzelkriterium: Was mache ich falsch?

Zitat:

Original von Harald Kurse
Ich sollte zum Schluss kommen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{n\cdot log(n)} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Mit dem Wurzelkriterium kriege ich aber folgendes:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to {\infty}} \sqrt[n]{ \mid \frac{1}{n\cdot log(n)} \mid } = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{log(n)}} \end{eqnarray*}$

und dieser ist für n > 3 sicher kleiner als 1, also konvergiert nach Wurzelkriterium die Reihe doch absolut?

So was machst Du am besten mit dem Cauchyschen Verdichtungskriterium!
Guckst Du hier.

12.03.2007, 09:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Monstar
frage: ist denn nicht n*log(n) = log(n^n)? oder bringt das hier nichts?

Das schon, aber was sollte das bringen?

@Popeye: mein Beweis enthält implizit das Verfahren des Verdichtungskriteriums. Ich wollte das jetzt aber nicht explizit in die Waagschale werfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2007, 10:28

Monstar

Auf diesen Beitrag antworten »

naja wäre nur einfacher für das wurzelkriterium, oder? dass es was für die lösung der aufgabe bringt möchte ich nicht behaupten Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2007, 10:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Monstar
naja wäre nur einfacher für das wurzelkriterium, oder? dass es was für die lösung der aufgabe bringt möchte ich nicht behaupten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wo sollte das einfacher sein? verwirrt

verwirrt

12.03.2007, 11:48

Monstar

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt bringt nix, vergesst meinen kommentar Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »