Quadratische Ergänzung -> pq Formel

26.09.2004, 16:40

BlueBottle

Quadratische Ergänzung -> pq Formel

also ich hab mir gedacht ich gucke mir nochmal an wie sich die pq formel so auseinander setzt, ist ned viel, jemand ders kann kanns kurz überfliegen denk ich, also zugrunde gelegt habe ich mal das

$\begin{eqnarray*} x^{2} + px + q \end{eqnarray*}$ ein vollständiges quadrat ist wie bei $\begin{eqnarray*} x^{2} + 6x + 9 \end{eqnarray*}$ zum beispiel, dann wäre:

$\begin{eqnarray*} x^{2} + px + q = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+q)^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+\sqrt{q}| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = - \sqrt{q} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} -(x + \sqrt{q}) = -x - \sqrt{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -\sqrt{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L \{-\sqrt{q}\} \end{eqnarray*}$

für das 1. binom

nun muss man sich überlegen für was kann ich sagen das $\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q \end{eqnarray*}$ ein vollständiges quadrat ist.

das ist der fall wenn $\begin{eqnarray*} q=(\frac{p}{2})^{2} \end{eqnarray*}$ (steht im buch ^^)

so jetzt habe ich mir gesagt das is so weil

$\begin{eqnarray*} px = 2 * \sqrt{x^{2}} * \sqrt{(\frac{p}{2})^{2}} \end{eqnarray*}$ von wegen $\begin{eqnarray*} 2ab = 2 * \sqrt{a^{2}} * \sqrt{b^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 * \frac{p}{2} * x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = px \end{eqnarray*}$

soweit so gut, aber hätte dieses $\begin{eqnarray*} (\frac{p}{2})^{2} \end{eqnarray*}$ nicht im buch gestanden, wie hätte ich das ermittelt ? wie muss ich vorgehen damit ich aus der überlegung die normalform immer ein vollständiges quadrat sein zu lassen darauf komme das $\begin{eqnarray*} q = (\frac{p}{2})^{2} \end{eqnarray*}$ sein muss ?

Wie Geht Das ? da komm ich ned weiter unglücklich

gut und von hier an isses ja leicht:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q = 0 | -q + (\frac{p}{2})^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}+px+(\frac{p}{2})^{2}= (\frac{p}{2})^{2}-q \end{eqnarray*}$

rechts das ist dann ja die diskriminante also D

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{p}{2})^{2} = D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+\frac{p}{2}| = \sqrt{D} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{p}{2}+ \sqrt{D} = - \frac{p}{2}+ \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} -q } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{p}{2}- \sqrt{D} = - \frac{p}{2}- \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q } \end{eqnarray*}$

das müsste es doch sein oder ?

das einzige was mir jetzt eben noch schleierhaft is, wie komme ich oben auf die $\begin{eqnarray*} (\frac{p}{2})^{2} \end{eqnarray*}$ , für hilfe wäre ich echt dankbar smile

26.09.2004, 16:55

Tobias

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Das ist eine einfache quadratische Ergänzung.

Wenn $\begin{eqnarray*} x^2 + px + q \end{eqnarray*}$ nicht "quadratisch vollständig" ist, dann ergänzt man quadratisch:

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q \end{eqnarray*}$

Daraus leitet man ab, dass q genau so aussehen muss, denn nur dann ergibt der Rest hinter dem Binom 0.

26.09.2004, 17:36

BlueBottle

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ahm sry aber ich glaub da kann ich dir gerade ned ganz folgen o_O.

was bringt mich auf den gedanken das q das quadrat der hälfte von p sein muss ?

ich dann das ned nachvollziehen irgendwie :/

€: moment, ich galub ich habs, man steh ich auf der leitung...

aber trotzdem müsste ich ja rumprobieren, wieso hast du das jetzt mit p halben zum quadrat erweiter ?

du hättest ja auch mit xyz erweitern können ? hast du da so lange rumprobiert bis es gepasst hat oder wie ?

26.09.2004, 17:48

BlueBottle

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vielleicht sollte ich die frage anders stellen, woher weiss ich mit was ich $\begin{eqnarray*} x^2 + px \end{eqnarray*}$ erweitern muss, damit da das binom raus kommt

also ich hab da jetzt $\begin{eqnarray*} x^2 + px \end{eqnarray*}$ stehen und überlege, was muss ich machen damit dadraus das 1. binom wird. mit welcher überlegung komme ich da auf p halbe zum quadrat ?

26.09.2004, 18:08

?lol?

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MAch dir das doch einfach mal an Zahlenbeispielen erkenntlich...
Das ist doch quasi wie die Scheitelpunktform zu berechnen
Andy

26.09.2004, 18:14

BlueBottle

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ja an nem zahlenbeispiel sieht mans schon, aber ich daraus ja ned gleich ableiten das das immer so is.

man muss doch irgendwie sagen können wie aus

$\begin{eqnarray*} 2p+p^2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} (\frac{p}{2})^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ wird, so irgendwie muss das doch gehen oder ?

26.09.2004, 18:33

BlueBottle

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ich will ned nerven aber ich muss das jetz wissen Augenzwinkern

ok ich glaub ich bin nah dran, ich schreib jetz mal was und ihr sagt mir wie falsch es is Augenzwinkern

.

also ich weiss das

$\begin{eqnarray*} x^2+2xp+p^2 \end{eqnarray*}$ ist ein binom
$\begin{eqnarray*} x^2+xp \end{eqnarray*}$ ist kein binom, aber ich habe das x schonmal abgedeckt

dann habe ich also

$\begin{eqnarray*} 2p+p^2 \end{eqnarray*}$ wo ich hin möchte
$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ habe ich noch

wenn ich dann so umstellen will das ich nurnoch das p als summe übrig habe, dann müsste ich ja nur den oberen term durch 2 teilen.

also :

$\begin{eqnarray*} 2p+p^2 = p + (\frac{p}{2})^2 \end{eqnarray*}$

und damit hätte ich dann wenn ich x wieder dazu nehme

$\begin{eqnarray*} x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 \end{eqnarray*}$

aber das kann man doch bestimmt irgendwie galanter ausdrücken oder ?

26.09.2004, 19:22

Mathespezialschüler

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Guck mal, die normale binom. Formel ist

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt machst du es analog dazu:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=x^2+2\frac{p}{2}x+q=x^2+2\frac{p}{2}x+\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2+q \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du für

$\begin{eqnarray*} x^2+2\frac{p}{2}x+\left(\frac{p}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

die binom. Formel von oben anwenden, indem du x als a siehst und $\begin{eqnarray*} \frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ als b. Vergleich mal! Augenzwinkern

26.09.2004, 19:30

BlueBottle

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Jetzt machst du es analog dazu:

$\begin{eqnarray*} x^2+2\frac{p}{2}x+q \end{eqnarray*}$

hier, da steht doch drin wie man auf die p halbe zum quadrat als b² kommt.

wenn x a ist muss p ja 2b sein, dann nehm ich analog dazu 2 p/2 und damit ist b = p/2, jetzt weiss ich das ich mit p/2 ergänzen muss.

jo das is dann auch schon alles gewesen, danke nochmal smile

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