Lösungen in Q

26.09.2004, 19:31	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen in Q Hallo. Ich habe hier eine Aufgabe, die mir nicht so ganz einfach erscheint: Man bestimme alle rationalen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+xy+y^2=1 \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} x^2+xy+y^2=1 \Leftarrow\Rightarrow x^2+2xy+y^2=1+xy \Leftarrow\Rightarrow (x+y)^2=1+xy \end{eqnarray}$ Es folgt, dass gelten muss $\begin{eqnarray} xy \geq -1 \end{eqnarray}$ Irgendwelche Ideen wie ich weitermachen könnte?
26.09.2004, 19:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungen in Q Ich hatte letztens bei der Matheolympiade eine ähnliche Aufgabe. Ich versuch mich mal: $\begin{eqnarray} x^2+xy+y^2-1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\frac{y}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^2-y^2+1}=-\frac{y}{2}\pm \sqrt{-\frac{3}{4}y^2+1} \end{eqnarray}$ Damit es überhaupt rationale bzw. reelle Lösungen geben kann, muss der Radikand größer oder gleich 0 sein. $\begin{eqnarray} -\frac{3}{4}y^2+1\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\geq \frac{3}{4}y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|y\|\leq \sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{2}{\sqrt{3}}\leq y\leq \frac{2}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ Wenn man das gleiche für x durchspielt, bekommt man das gleiche Ergebnis für x, da ja x und y in der Gleichung "vertauschbar" sind. Jetzt hat man schon alle Paare mit der pq-Formel bestimmt. Allerdings muss man noch beachten, dass bei der Wurzel auch irrationale Zahlen möglich sind. Da muss man also noch ne Einschränkung machen. Das überlass ich dir
26.09.2004, 20:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung x²+xy+y²=1 beschreibt im kartesischen xy-Koordinatensystem eine Ellipse mit den Geraden y±x=0 als Symmetrieachsen und $\begin{eqnarray} a=\sqrt{2} \, , \ b=\sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ als Halbachsen. Die Ellipse geht durch den Punkt (0,1). Wenn nun t ein reeller Parameter ist, so wird durch y=1-tx die Schar aller Geraden durch (0,1) beschrieben. Jetzt schneide eine solche Gerade mit der Ellipse und berechne die Schnittpunkte (einen kennst du ja von vorneherein). Du erhältst so eine Parameterdarstellung der Ellipse. Und jetzt mußt du nur noch begründen, warum du für rationale t alle rationalen Punkte erhältst.
27.09.2004, 20:48	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... ich setze also $\begin{eqnarray} x^2+xy+y^2=1-tx \end{eqnarray}$ ergeben sich die Schnittpunkte als: $\begin{eqnarray} x_1= - \frac{y+t}{2}+\sqrt{\frac{(y+t)^2}{4}-y^2+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2= - \frac{y+t}{2}-\sqrt{\frac{(y+t)^2}{4}-y^2+1} \end{eqnarray}$ und jetzt? Die Begründung dafür, dass man hierdurch alle rationalen Lösungen erhält ist einfach: Es gibt durch jeden rationalen Punkt der Ellipse eine Gerade, die auch durch (0,1) geht, also erhält man durch die Geradeschar y = 1 - tx alle rationalen Punkte auf der Ellipse.
27.09.2004, 21:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt wohl nicht. Du mußt in der Ellipsengleichung 1-tx für y einsetzen. Du erhältst für x (und dann auch für y) einen rationalen Ausdruck in t.
27.09.2004, 21:24	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
:P ok, also es ergibt sich als Parameterdarstellung aller rationalen Punkte: $\begin{eqnarray} x=\frac{2t-1}{1+t^2-t}, y = 1 - \frac{2t^2-t}{1+t^2-t} \end{eqnarray}$ richtig?
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