Integralrechnung

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung
Hallo.
Ich wiederhole zur Zeit die Integralrechnung und bisher hats gut geklappt, nur stoße ich jetzt bei der genauen Berechnung auf ein Problem. Wenn man den Term nämlich vereinfachen soll, damit man den limes darauf anwenden soll.
Ich habe in meiner letzten Zeile nun stehen:

Wie vereinfache ich hier, damit ich den limes für n gegen unendlich bestimmen kann?
Da n gegen unendlich läuft, muss man ja versuchen, n in den Nenner zu bringen.
Danke.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

das was ich als "letzte zeile" bezeichnet habe, awr falsch, im buch steht, wie man das macht, Augenzwinkern aber ich muss mir die gesetze trotzdem nochmal verinnerlichen.
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wen mir dein Problem etwas schleierhaft ist, würde ich vermuten wollen, dass man unter "Vereinfachung" hier versteht, aus einem Produkt eine Summe zu machen. In einer Summe kann man nämlich den Limes auf jeden einzelnen Summanden einzeln anwenden. Dein Term konvergiert allerdings nicht wirklich sondern rauscht ins Unendliche.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal den Titel geändert, jetzt kann es nach Analysis verschoben werden Augenzwinkern
Ich hab da nochn Problem.

für f(x) = x^3 soll ich einen Flächeninhalt berechnen. Diese wird von dem Graphen, der Geraden x=2 und der x-Achse begrenzt.

h= 2/n



Die Summenformel lautet für 1³+2³+3³+...+n³ :


also folgt .
Wie kan n ich hierauf den limes anwenden? Ich habe drüber nachgedacht, aber ich habe wieder nur Faktoren.
Ich konnte das zwar auf die Form bringen, aber was kommt danach? Ist das ein falscher Schritt?
Danke.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Zitat:

Deine Obersumme is falsch!

Es muss heißen:



weil ja die x jeweils auch nur bis zur 2 die Randpunkte der Intervalle durchlaufen. Jetzt kannst du deine Formel einsetzen und weiterrechnen!
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Obersumme ist nicht falsch, ich habe sie nur falsch aufgeschrieben. Augenzwinkern

Sie muss natürlich so heißen:

.
Aber von da an habe ich doch richtig weiter gerechnet.

edit: oh doch, sie ist falsch: es müsste dann ja sogar in der reihe was mit "^6" vorkommen. ich mache das gleich weiter. muss erst essen Augenzwinkern
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Obersumme ist trotzdem noch falsch! Du kannst einfach (2/n)³ ausklammern und hättest dann



Du siehst aber, dass diese nicht mit meiner übereinstimmt und meine ist nun leider richtig (wenn ich auch nicht immer alles richtig mache). Du musst die 1, 2, ..., n mit unter die Klammer in den Bruch ziehen, denn du nimmst ja jeweils nicht 2*y, also 2*f(x), sondern f(2*x)! Dann wirds richtig.
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, du hast Recht, Ich habe es auch so gemacht. Ich habe es also schon wieder falsch aufgeschrieben gehabt Augenzwinkern

Ich habe es exakt so, wie due meintest. Nur das mit ^4 hatte ich nicht. im buch steht da auch explizit, dass ich die Summenformel für die Reihe 1^3+2^3+...+n^3 anwenden soll. Diese ist .
Diese habe ich eingesetzt. also habe ich doch alles richtig gemacht. Wie muss ich denn vorgehen jetzte ?

edit: da wäre noch ne frage:
Muss ich, wenn ich diese Summenformel anwende, das "n" in der Summenformel durch das letzte Glied in der reihe ersetzen? dann würden dafür zahlen rauskommen und der Exponent würde nochmals größer.
Oder lasse ich das allgemein die Formel und wende sie an?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast danach nicht alles richtig gemacht, weil du die Summenformel auf



angewandt hast, was aber falsch ist. Du musst vorher noch ausklammern:



Jetzt die Formel einsetzen:



Und wenn man jetzt n gegen unendlich laufen lässt:



Und da hast du dein Ergebnis. Du hast die Summenformel auf eine völlig falsche Summe angewandt, das war dein Fehler Augenzwinkern
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast vollkommen Recht Augenzwinkern Das war im Buch auch so mit dem Ausklammern, aber ich habe irgendwie nicht richtig darauf schließen können. Danke.

edit: da wäre noch die frage von vorhin:

Muss ich, wenn ich diese Summenformel anwende, das "n" in der Summenformel durch das letzte Glied in der reihe ersetzen? dann würden dafür zahlen rauskommen und der Exponent würde nochmals größer.
Oder lasse ich das allgemein die Formel und wende sie an?

edit2: Du hast bei der Anwendung des Limes unendlich durch unendlich geteilt. das sollte man ja nicht oder? ich habe es etwas anders gemacht, habe auch 4 rausbekommen.


Danke.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden. Wenn ja, der Exponent wird auf keinen Fall größer!
Willst du jetzt wissen, wie z.B. die Summenformel für



ist? Da musst du in der Summenformel natürlich n durch das letzte Glied, hier also (n+2) ersetzen. Das würde dann so aussehen:



Ich hoffe, ich hab damit deine frage getroffen/beantwortet?!

PS: Kennst du schon das Summenzeichen? Also



Damit wäre das hier alles nich so aufwändig mit den Summenzeichen.


edit: Ich habe nicht unendlich durch unendlich geteilt!

The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ja , das summenzeichen kenne ich.

also das waren meine fragen:
Zitat:
Muss ich, wenn ich diese Summenformel anwende, das "n" in der Summenformel durch das letzte Glied in der reihe ersetzen? dann würden dafür zahlen rauskommen und der Exponent würde nochmals größer.
Oder lasse ich das allgemein die Formel und wende sie an?

edit2: Du hast bei der Anwendung des Limes unendlich durch unendlich geteilt. das sollte man ja nicht oder? ich habe es etwas anders gemacht, habe auch 4 rausbekommen.


zu der ersten frage: Ich meinte nur, ob man, wenn man die Sumemnformel anwendet, das "n" in der Summenformel durch das letzte Glied in dem Ausgangsterm dafür einsetzen muss, also so:
das letzte Glied war ja . Nun heißt die Summenformel .

muss ich hier in der Summenformel nicht eigentlich für jedes n diese letzte Glied einsetzen ? dann würde dieses Glied ja wegen der Summenformel unter anderem nochmals potenziert. Ich hoffe, jetzt hast Du mich verstanden.

Und zu meiner 2ten Frage: Musst Du da nicht de l'Hospital anwenden, weil "unendlich durch unendlich" nicht geht ?

Danke.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiß ich, was du meinst! Du hast die Summenformel falsch angewandt! Du darfst das so nicht machen!
Die gilt wirklich nur für die natürlichen Zahlen, also für die Summe



und nicht auch für



weil ja da nicht der ganze Summand unterschiedlich ist, also du darfst das darauf nicht anwenden!!! Das ist ganz wichtig! Du musst erst die (2/n)³ ausklammern, erst dann darfst du das anwenden, weil das absolut nur auf diese eine spezielle Summe beschränkt ist!!!
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man die 2/n ausgeklammert hat, dann bleiben doch nur natürliche Zahlen drin, aber lass uns das auf morgen verschieben Augenzwinkern ich schreib da morgen was dazu, wenn ichs nicht vergesse Augenzwinkern Kann auch sein, dass ich wieder auf der Leitung steheAugenzwinkern soll ja auch vorkommen, nicht immer machst du ja die fehler Augenzwinkern
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ich schreib mal gleich ne antwort, damit ihr das auch mitbekommt Augenzwinkern

Wenn das hier steht:


ist der Integrand dann hier eine "1" oder eine "0" ? zwischen dem dx und dem Integradn ist doch ein Multiplikationszeichen, oder ?

Danke.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würd auch sagen, da ist ein Multiplikationszeichen, so wird das zumindest meistens behandelt. Ob das mathematisch korrekt ist, weiß ich ehrlich gesagt gar nicht, aber ich denke, es gilt:



Aber wie gesagt: Wie das dx mathematisch korrekt behandelt wird, weiß ich noch nicht.

PS: Hast du denn jetzt das andere verstanden??


edit: Mein 2000. Post smile Prost Prost
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das andere habe ich verstanden. aber ich komme vielleicht noch darauf zurück, wegen der einen Frage.

da wär nochwas:
ich schreibs doch mal hier rein noch.

zur folgenden aufgabe:
Beim senkrechten Wurf nach oben mit der Abwurfgeschwindigkeit v_0=20 (in m/sec) nimmt die Geschwindigkeit v eines Körpers linear ab.
Es gilt v(t) = 20 - 10*t (t in s).
Berechnen Sie .
Deuten Sie das Integral als Bilanzsumme von Flächeninhalten und als physikalische Größe.

Durch einsetzen in die Funktionsgleichugn erfährt man, dass der Körper nach 2 sekunden am Boden ist. Was bringt es aus Sicht der Analysis eigentlich, hier noch die negative Fläche zu berechnen?
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

nun folgendes Integral:


Ich habe folgendes:


Wie komme ich hier weiter mit dem Umformen?
Das ist ja auch eine Reihe, aber eine mit brüchen und einer konstanten Zahl.

Danke.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute



soll das hier heißen?



Wenn nicht, dann seh ich da garkeinen Sinn in Deiner Darstellung ich arbeite mit letzterem und fass es erstmal übersichtlich zusammen



<=>



=



So und jetzt? Weiter zusammenfassen wird schwer gehen.

Das ist das was ich aus Deinem Wirrwar ablesen konnte. Vielleicht wäre es mal sinnvoll zu sagen wo Du hin willst.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Weiter zusammenfassen wird schwer gehen.


Wie bitte? Einfach Gaußsche Summenformel anwenden!!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie bitte? Einfach Gaußsche Summenformel anwenden!!


Bla, wie konnt ich nur is ja konstanter Faktor.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von The_Lion


Ich habe folgendes:



wie kommst du da eigentlich auf das "+1" bei jedem Summanden? Woher nimmst du das denn? verwirrt

@Mazze
Kein Problem, passiert ja jedem mal :P
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

das war sein Problem,was ihn gehindert hat.Die +1 gehört da nämlich nicht hin.Das is eigentlich wie immer.2/n [ 2/n*1/2 + 2*2/n *1/2 +....+ n*2/n *1/2]

ausklammern,dann einfach die Summenformel anwenden.Und das wars
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

die "+1" gehört dahin, ich habe lediglich vergessen, das bei der Integralschreibweise für den Integranden mit anzugeben.
f(x) = 0,5x + 1

@Mazze:
Ich muss das Integral einfach nur bestimmen. Dafür lässt man n gegen unendlich laufen, aber dazu muss man ja vereinfachen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das vereinfachen hat Mazze doch schon gut gemacht



und wenn wir noch, wie auch schon angesprochen, die Summenformel anwenden, bekommen wir:

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