Glücksspiel mit Würfel

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27.09.2004, 16:19	Devil1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Glücksspiel mit Würfel Hi, ich fange gerade mit Stochastik an und hab da noch nicht so den Plan von! Also hier ist die Aufgabe, wäre nett wenn mir jmd erklären könnte wie man zu einem Ergebrins kommt: Bei einem Spiel werden nach zweimaligem Würfeln eines Würfels für die Augensumme "größer als neun" 13 DM ausgezahlt. Bei Augensumme "kleiner als neun" sind 3 DM einzuzahlen. Wie muss die Auszahlung bei "neun" gewählt werden, damit das Spiel fair ist? (In einem fairem Spiel gibt es im Durchschnitt für beide Spieler die gleiche erwartete Auszahlung) Ich weiß, die Aufgabe ist alt, wegen DM aber ist ja auch egal! PLZ help
27.09.2004, 17:35	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Zunächst brachst du die Wahrscheinlichkeiten dafür -3, 13 oder x DM zu gewinnen, also P(größer 9), P(gleich) neun und P(kleiner 9). Wenn das klar oder, oder wenn das nicht klar ist, dann melde dich wieder. Gruß Anirahtak
27.09.2004, 17:52	anonymouse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksspiel mit Würfel Hi, Es macht Sinn, das Spiel nur von der Warte jeder einzelnen SpielerIn zu betrachten. Nehmen wir z.B. die Person, die würfelt. Bekommt sie die 9 DM, ist das für sie ein positiver Gewinn von 9. Muss sie 3 DM einzahlen, sind es entsprechend -3. Das Spiel ist für sie fair, wenn der erwartete Gewinn größer gleich 0 ist. Für das Gegenüber ist das Spiel fair, wenn der erwartete Gewinn der WürflerIn kleiner gleich 0 ist. Für beide ist das Spiel also gerade dann fair, falls der erwartete Gewinn gleich 0 ist. Seien nun x,y die Augenzahlen beim ersten und zweiten Wurf. Sei G(x,y) der Gewinn für die Würflerin beim Würfelergebnis (x,y). Wenn wir annehmen, dass die Würfel ideal sind, dass also sowohl für x als auch für y alle Zahlen von 1 bis 6 gleichwahrscheinlich auftreten, berechnet sich der erwartete Gewinn wie folgt: $\begin{eqnarray} E[G(x,y)]=\frac{1}{36}\sum_{1\leq x,y\leq 6} G(x,y) \end{eqnarray}$ Der Faktor 1/36 ist nötig, weil wir 36 verschiedene Wurfergebnisse (x,y) haben. Die Summe kann man auch anders schreiben: $\begin{eqnarray} E[G(x,y)]=\frac{1}{36}(\sum_{x+y>9} 13 + \sum_{x+y=9} G(x,y) \sum_{x+y<9} -3) \end{eqnarray}$ Die Ungleichung x+y>9 ist für die sechs Ergebnisse (4,6), (6,4), (5,5), (6,5), (5,6) und (6,6) erfüllt. Die Ungleichung x+y=9 ist für die vier Ergebnisse (4,5), (5,4), (3,6) und (6,3) erfüllt. Für alle anderen 26 möglichen Ergebnisse gilt x+y<9 Da ja E[G(x,y)]=0 gelten soll, haben wir folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} 0=6\cdot 13 + 4\cdot G(x,y) + 26\cdot (-3) \end{eqnarray}$ Diese Gleichung ist genau erfüllt, wenn wir G(x,y)=0 im Fall x+y=9 wählen. Grüetzi.
27.09.2004, 18:00	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksspiel mit Würfel wenns dir hilft: ermittle alle möglichen augenzahlen bei 2 würfen, beachte auch die reihenfolge (p > 9) = 6/(summe aller möglichkeiten) summe d.mö = 36 616 + 4x - 3*26 = 0 werner
27.09.2004, 18:31	Devil1984	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Glücksspiel mit Würfel @Anirahtak Der anonymouse hats mir eigentlich schon vorweg genommen: also P(>9)=1/6 , P(=9)=1/9 und P(<9)=13/18 tja und wie kann ich jetzt damit weiter rechnen? @anonymouse Also deins mag richtig sein nur ists noch zu "hoch" für mich, kenne dieses eine Zeichen nicht!
27.09.2004, 18:54	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Deine Wahrscheinlichkeiten stimmen. Du hast also drei Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Sagt dir der Erwartungswert was? - denn den brauchst du hier. Gruß Anirahtak
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27.09.2004, 19:15	Devil1984	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahm nö hab noch nix von Erwartung gehört! Das war wahrscheinlich dieses "E" von anonymouse, oder? Aber ich fänds nett wenn du es mir erklären könntest!
27.09.2004, 20:03	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Genau, unter E(X) versteht man den Erwartungswert der Zufallsvariable X. Wenn da etwas darüber erfahren möchtest, dann schau mal hier: http://www.matheboard.de/lexikon/Erwartu...,definition.htm Wenn du konkrete Fragen hast, dann werde ich versuchen sie zu beantworten. Gruß Anirahtak
13.11.2004, 15:22	alamak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich denke, das lässt sich so lösen: Es gibt insgesamt 36 Möglichkeiten an Würfen: 1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5 und 1+6, das gleiche mit 2: 2+1, 2+2, usw. = 6 x 6 = 36 Möglichkeiten davon Möglichkeiten über 9: Um mehr als 9 zu würfeln, muss der erste Wurf mindestens eine 4 sein, also: erster Wurf 4: 4+6>9 erster Wurf 5: 5+5>9 5+6>9 erster Wurf 6: 6+4>9 6+5>9 6+6>9 Das sind 6 der 36 Möglichkeiten. Um die Summe 9 zu würfeln, gibt es 4 Möglichkeiten: 3+6 4+5 5+4 6+3 Vice versa gibt es also für den Fall, weniger als 9 zu würfeln, die restliche Anzahl auf 36, das sind (36 - 6 - 4=) 26 Möglichkeiten. Also: Würfe über 9: 6/36 Würfe genau 9: 4/36 Würfe kleiner 9: 26/36 Daraus lässt sich folgende Gleichung aufstellen: Auf Dauer gesehen gewinne ich 6 von 36 mal 13 DM und verliere ich 26 von 36 mal 3 DM Was muss ich 4 mal bei 9 gewinnen um "bare" (=0) für beide Seiten auszusteigen? 6 x 13 (Gewinn) - 26 x 3 (Verlust) + 4 x y (Anzahl genau 9) = 0 78 - 78 + 4 x y = 0 Somit muss y 0 sein. Wir sehen, dass wir hier auf Dauer so viel verlieren, wie wir einsetzen. Um das Spiel für beide Seiten finanziell gleich ausgehen zu lassen, darf es allerdings dann weder eine Auszahlung und noch einen Einsatz bei genau 9 geben, ich muss also den Einsatz wieder zurück erhalten, wenn ich genau 9 würfle. Oder, je nachdem wie die Aufgabe gemeint ist, kann der Einsatz in diesem Fall beim Spielveranstalter bleiben (das Casino muss ja auch von was leben - in vier der 36 möglichen Fälle).

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