Diffgl. System

27.09.2004, 20:12	Borack	Auf diesen Beitrag antworten »
Diffgl. System hallo kann mir bitte jemand beim lösen von folgendem diff. gl. system helfen? $\begin{eqnarray} 2x + y =\frac{dx}{dt}\ \ (1)\ \ ;\ 2y + z = \frac{dy}{dt}\ \ (2)\ \ ;\ 2z = \frac{dz}{dt}\ \ (3) \end{eqnarray}$ die letzte gleichung kann ich lösen. $\begin{eqnarray} 2z = \frac{dz}{dt} <=> \frac{dz}{z} = 2dt <=> \ln z = 2t <=> z = e^{2t} \end{eqnarray}$ doch nun.. wenn man das ergbnis in (2) einsetzt wirds schwieriger.. wie macht man das? ... wie füg ich einen zeilenabstand in latex ein? edit: latex-Codes verbessert. Für Potenzen immer e^{...} schreiben, also geschweifte Klammern (und das auch für alles andere eigentlich. Wenn du in der zeile Abstand haben möchtest, also Leerzeichen machst du einfach "\ ". Für Zeilenumbrüche musst du einen neuen latex-Befehl beginnen. (MSS)
27.09.2004, 20:57	DasSchnelleU	Auf diesen Beitrag antworten »
zu (1): 2x + y = dx/dt x´- 2x = y x´- 2x = 0 x = k e^(-int(-2)dt) x = k e^(2t) x(t) = k(t) e^(2t) x´(t) = k´(t) e^(2t) + 2 k(t) e^(2t) eingesetzt: k´(t) e^(2t) = y k´(t) = y e^(-2t) k(t) = y int(e^(-2t)) dt k(t) = -1/2 y e^(-2t) +C eingesetzt: in x(t) = k(t) * e^(2t) x(t) = -1/2 y + C e^(2t) zu (2): analog! Ohne Gewähr, Gruss DasSchnelleU
28.09.2004, 11:11	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diffgl. System Sicher, dass es so einfach ist? Ich kenne das nur mit Matrizenrechnung, und dann braucht man auch noch die Eigenvektoren. Hab aber den genauen Weg nicht im Kopf. Das fängt dann so an: $\begin{eqnarray} \vec{u}\ ' = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \vec{u} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht mehr genau, wie es weitergeht, vielleicht jemand anders, bevor ich nen Fehler mache.
28.09.2004, 11:58	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Borack, mit Trazom's Matrizenschreibweis erhält man die Lösungen $\begin{eqnarray} u(t)=ce^{\lambda t} \end{eqnarray}$ wobei c ein Eigenvektor der Matrix und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray*}$ der zugehörige Eigenwert. gruß mathemaduenn

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