Sind komplexe Nullstellen immer konjugiert komplex?

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WütenderGockel Auf diesen Beitrag antworten »
Sind komplexe Nullstellen immer konjugiert komplex?
Ich habe irgendwo gelesen, dass die komplexen Nullstellen einer beliebigen ganzrationalen Funktion immer paarweise zueinander konjugierte Zahlen sind. Stimmt das? Kann man das beweisen?
Kontrollator Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind komplexe Nullstellen immer konjugiert komplex?
ich weiss das es stimmt aber beweisen kann ich das nicht Augenzwinkern
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.
Was meinst du mit komplex?
Nicht reell?
5 ist ja auch eine komplexe Zahl, und dann stimmt der Satz sicher nicht.
Ich nehme an, dass du folgendes meinst:
Wenn x+i*y mit x,y aus R, y ungleich 0 Nullstelle eines Polynoms ist, dann ist auch x-i*y Nullstelle.
Richtig?
movarian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ich bin's nochmal.
Was ich gesagt habe, war natürlich falsch, die konjugierte ist ja die Zahl selbst und damit ist sie natürlich auch Nullstelle, keine Ahnung, was ich mir dabei gedacht habe.
Auf www.matheplanet.com habe ich folgenden Beweis gefunden:
Bezeichnet z eine komplexe Zahl und z* die konjugiert komplexe Zahl, dann verläuft er wie folgt:
Sei z Nullstelle eines Polynoms vom Grad n, es gelte also:
a[n]*z^n+a[n-1]*z^(n-1)+...+a[1]*z+a[0]=0
wobei a[i] mit i aus 0..n reell seien, sonst gilt der Satz nicht.
Jetzt konjugiert man beide Seiten:
(a[n]*z^n+a[n-1]*z^(n-1)+...+a[1]*z+a[0])*=0*=0
Jetzt gelten, wie du leicht nachprüfst, folgende Rechenregeln für die Konjugation (heißt das so?):
(a*z)*=a*z* mit a aus R.
(z1+z2)*=z1*+z2*
Prüfe das ruhig nach, indem du z=a+b*i setzt und komponentenweise ausrechnest.
Außerdem gilt:
(z^n)*=(z*)^n
Beweis:
Sei z gegeben in Polarkoordinatendarstellung
z=r*exp(i*phi)=r*cos(phi)+i*r*sin(phi)
Dann gilt:
z^n=r^n*exp(i*phi*n)=r^n*cos(n*phi)+i*r^n*sin(n*phi)
Also gilt:
(z^n)*=r^n*cos(n*phi)-i*r^n*sin(n*phi)
Außerdem gilt:
z*=r*cos(phi)-i*r*sin(phi)=r*exp(-i*phi)
Damit gilt:
(z*)^n=r^n*exp(-i*n*phi)=r^n*cos(-n*phi)+i*r^n*sin(-n*phi)
=r^n*cos(n*phi)-i*r^n*sin(n*phi)
wenn man die Parität von sin und cos beachtet.
Also gilt die Gleichheit
(z*)^n=(z^n)*
und wenn man diese 3 Regeln anwendet kommt man gerade auf
a[n]*(z*)^n+a[n-1]*(z*)^(n-1)+..+a[1]*(z*)+a[0]=0
und damit die Behauptung.
Gruß
Philipp
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