geschlossenes Kurvenintegral

28.09.2004, 16:57	Heisenberg	Auf diesen Beitrag antworten »
geschlossenes Kurvenintegral Ich schaff die folgende Aufgabe nicht: Berechnen sie das geschlossene Kurvenintegra für ein Quadrat der Seitenlänge a, welches den Nullpunkt nicht einschließt.l Geschlossenes Integral von (Vektor A)* d(Vektor s) A=(-y/(x^2+x^2), x/(x^2+y^2), 0 ) Ich bin so rangegangen: Die Eckpunkte des quadrats lauten: (a,0)--c1-->(2a,0)--c2-->(2a,a)--------c3-->(a,a)--c4-->(a,0) c1 c2 usw. stellen die Verschiebungen dar. Ich bin dann nen komplizierten Weg gegangen indem ich das Integral in 4 Integrale aufgesplittet habe wobei ich 4 verschiedene Vektoren s benutze die allerdings alle durch t parametrisiert waren. Dabei ergeben sich nachher Integrale wovon ich die Stammfunktion nich bilden kann!! In der Übung hat der Referendar das Integral zuerst in 2 verschiedene Integrale gesplittet wobei er einfach Vektor A * d Vektor s berechnet hat!! Auf diese zwei integrale hat er dann jeweils alle 4 verschiebungen als Integralgrenzen benutzt woraus sich 8 Integrale ergeben. Anschließend sagte er dass einige Integrale 0 wären und der Rest das Kurvenintegral bildet. Ich habe nich verstanden warum einige dieser Integrale 0 sind. Das könnte auch daran liegen dass ich mir nicht so sicher bin welche Grenzen man bei den Verschiebungen benutzt. Bei c1 würde ich 2 und 2a als Grenzen nehmen. Bei c2 bin ich mir schon nicht mehr sicher!! Entweder 0 und a oder 2a und a!! Ich bin echtt verwirrt!! Vor allem weil mir bei diesem Lösungsweg die Parametrisierung fehlt! Plz help me... Btw: wie benutzt ihr diese Integralzeichen usw? Ich find die hier nirgendwo!
28.09.2004, 18:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du genauer sagen, wie der Referendar gerechnet hat? Ich kann das nicht nachvollziehen. Es geht allerdings auch direkt. Bezeichnet $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ das positiv orientierte Quadrat wie beschrieben, so kannst du folgendermaßen parametrisieren: untere Seite: $\begin{eqnarray} x=t \, , \ y=0 \, , \ \mbox{d}x=\mbox{d}t \, , \ \mbox{d}y=0 \end{eqnarray}$ rechte Seite: $\begin{eqnarray} x=2a \, , \ y=t \, , \ \mbox{d}x=0 \, , \ \mbox{d}y=\mbox{d}t \end{eqnarray}$ obere Seite: $\begin{eqnarray} x=t \, , \ y=a \, , \ \mbox{d}x=\mbox{d}t \, , \ \mbox{d}y=0 \end{eqnarray}$ linke Seite: $\begin{eqnarray} x=a \, , \ y=t \, , \ \mbox{d}x=0 \, , \ \mbox{d}y=\mbox{d}t \end{eqnarray}$ Da für die obere und linke Seite die Orientierung umzukehren ist, ergeben sich in der folgenden Rechnung bei den beiden letzten Summanden Minuszeichen. $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}^{}~{\left( \frac{-y}{x^2+y^2} \, \mbox{d}x \, + \, \frac{x}{x^2+y^2} \, \mbox{d}y \right)} = \int_a^{2a}~0 \ + \ \int_0^a~\frac{2a}{4a^2+t^2} \, \mbox{d}t \ - \ \int_a^{2a}~\frac{-a}{a^2+t^2} \, \mbox{d}t \ - \ \int_0^a~\frac{a}{a^2+t^2} \, \mbox{d}t \end{eqnarray}$ Das erste Integral verschwindet, im zweiten wird $\begin{eqnarray} t=2au \end{eqnarray}$ substituiert und im dritten und vierten $\begin{eqnarray} t=au \end{eqnarray}$ . Dann rechnet man weiter: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}^{}~{\left( \frac{-y}{x^2+y^2} \, \mbox{d}x \, + \, \frac{x}{x^2+y^2} \, \mbox{d}y \right)} = \int_0^{\frac{1}{2}}~\frac{\mbox{d}u}{1+u^2} \ + \ \int_1^2~\frac{\mbox{d}u}{1+u^2} \ - \ \int_0^1~\frac{\mbox{d}u}{1+u^2} = \int_1^2~\frac{\mbox{d}u}{1+u^2} \ - \ \int_{\frac{1}{2}}^1~\frac{\mbox{d}u}{1+u^2} \end{eqnarray}$ Die beiden letzten Integrale haben denselben Wert (was du sehen kannst, wenn du beim zweiten Integral $\begin{eqnarray} u=\frac{1}{v} \end{eqnarray}$ substituierst), woraus folgt: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}^{}~{\left( \frac{-y}{x^2+y^2} \, \mbox{d}x \, + \, \frac{x}{x^2+y^2} \, \mbox{d}y \right)} = 0 \end{eqnarray}$

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