Gleichungssystem Lösen

28.09.2004, 19:23	Sonja80	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem Lösen Hallo Zusammen, ich glaube ich stelle mich ein bißchen dumm an, aber ich komme hier einfach zu keinem Ergebnis. Die Frage ist, ob die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear abhängig oder unabhängig sind. Ok, ich stelle also 3 Gleichungen auf 1.) r+4s+2t=0 2.) 2r-4t=0 3.) -3r +s+7=0 Dann habe ich 1.) und 2.) zusammengefasst -8s-8t=0 Dann 1.) und 3.) 13s+13t=0 Jetz würde ich eigentlich die beiden neuen Gleichungen zusammen fassen, damit wieder eine unbekannte weg fälllt. Dann hätte ich eine Unbekannte bekannt gemacht und würde diese in eine der beiden Ergenisse einsetzen, hätte die nächste bekannte und dann beide in die erste und das System wäre gelöst. Kommt füralle unbekannten null raus, sind die Vektoren linear unabhängig, ist eine Unbekannte eine Zahl, sind die Vektoren linear abhängig. Mein Problem: Fasse ich -8s-8t=0 und 13s+13s=0 zusammen, verschwinden automatisch beide Unbekannten!! Was will mir das sagen?? Oder mache ich was falsch? Danke euch schon mal. Sonja
28.09.2004, 20:07	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem Lösen Hi Sonja, du hast alles richtig gemacht (ich habe allerdings nicht nachgerechnet, ob rechenfehler drin sind). Wenn du die Gleichungen in Matrix-Schreibweise gelöst hättest (oder hast du es womöglich?), wäre es einfacher zu sehen, was deine "Lösung" bedeutet. Deshalb schreibe ich es dir nochmal hin. Nach diversen Vereinfachungen hättest du folgendes bekommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -8 & -8 \\ 0 & 13 & 13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn du nun die 2. und die 3. Zeile zusammenfasst, dann kommt dort (wie in deiner Rechnung auch) eine 0-Zeile raus. Was bedeutet das für die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems? Und um zurück auf deine Aufgabenstellung zu kommen. Was bedeutet die Lösung des LGS für die (Un-)abhängigkeit der Vektoren? Edit Als Tip noch: ein homogenes Gleichungssystem(also auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens sind nur 0er) mit 3 Unbekannten hat entweder die Lösung (0/0/0) oder unendlich viele Lösungen.
28.09.2004, 20:15	Sonja80	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem Lösen Also die Schreibweise ist mir noch völlig unbekannt. Das kommt bestimmt aber noch, wie haben gerade es mit Vektoren angefangen. Wenn ich zwei Zeilen zusammenfasse und es kommt Null raus, dann bleibt ja immer noch eine Zeile in der nicht Null rauskommt. Und wenn nicht überall Null rauskommt, dann sind die Vektoren linear abhängig. Richtig? Dann wären meine Vektoren linear abhängig...
28.09.2004, 20:45	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem Lösen Hi sonja, ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht hängt immer von der Lösungsmenge des LGS ab. Hat das LGS als einzige Lösung den Nullvektor (0/0/0), so sind die Vektoren linear unabhängig. Hat das LGS unendlich viele Lösungen, so sind die Vektoren linear abhängig. Die Tatsache, dass eine Gleichung wegfällt zeigt dir, dass dein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Und wie du richtig festgestellt hast, sind deine Vektoren somit linear abhängig. Hier nochmal ausführlich: r + 4s + 2t = 0 -8s - 8t = 0 13s + 13t = 0 Nach zusammenfassen der letzten beiden Gleichungen ergibt sich r + 4s + 2t = 0 -8s - 8t = 0 0 = 0 Somit hast du nur noch 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Dieses Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, also gibt es unendlich viele Lösungen. Ich hoffe, das war verständlich formuliert Gruß Tobi
28.09.2004, 21:00	Sonja80	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich verstanden Danke

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