geometrische und algebraische Vielfachheit

29.09.2004, 16:46	dilemma	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische und algebraische Vielfachheit Moin! Kann mir einer die Begriffe algebraische und geometrische Vielfachheit anhand dieses Beispiels erklären? $\begin{eqnarray} ER_1=(\vec{x}\in\mathbb R ^3\|\vec{x} = \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb R ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ER_2=(\vec{x}\in\mathbb R^3\|\vec{x}=\alpha_1\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\alpha_3\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}, \alpha_i\in \mathbb R ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ER_1, ER_2 \end{eqnarray}$ sind Eigenräume
29.09.2004, 18:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Vielfachheit Die Geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes lambda ist die Dimension des Lösungraumes von $\begin{eqnarray} (A - \lambda E)x = 0 \end{eqnarray}$ Man nennt den Lösungsraum des obigen Systems auch Eigenraum, na dämmerts? ^^ algebraische Vielfachheit Der Eigenwert $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ hat die algebraische Vielfachheit k wenn das characteristische Polynom der quadratischen Matrix die k-Fache Nullstelle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ hat also k mal durch $\begin{eqnarray} (\lambda - \alpha) \end{eqnarray*}$ teilbar ist. Um also die algebraische Vielfachheit zu bekommen brauchst Du erstmal das char. Polynom.
29.09.2004, 22:51	dilemma	Auf diesen Beitrag antworten »
es dämmert.. Hi Mazze! Hab nochl ein paar Aufgaben gerechnet, ist jetzt klar. Wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Eigenwert ist, ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums(Lösungsraum $\begin{eqnarray} (A-\lambdaE)x=0 \end{eqnarray}$ ) die geometrische Vielfachheit. $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist Nullstelle des char. Polynoms, und deren "Vielfachheit" ist geometrische Vielfachheit von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray*}$ . Vielen Dank

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