umkehrfunktion

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05.11.2003, 18:08	warli	Auf diesen Beitrag antworten »
umkehrfunktion lautet die umkerfunktion von f(x)=x²-4x-8 f'(x)=8: (x²-4x) ? wenn net , was habsch falsch gemacht ?
05.11.2003, 18:28	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Bildung einer Umkehrfunktion: Nach x auflösen und dann x und y vertauschen. y = x² - 4x - 8 Quadratische ergänzung: y = x² - 4x + 4 - 8 - 4 y = (x-2)² -12 y + 12 = (x-2)² Wurzel( y + 12) = x - 2 Wurzel( y + 12) + 2 = x jetzt x und y vertauschen y = Wurzel( x + 12) + 2 also f^(-1)(x) = Wurzel( x + 12) + 2 An die Klugscheißer: Ja.. 2 - Wurzel( x + 12) würde auch gehen..
05.11.2003, 21:01	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Nana Henrik, das hat wohl nichts bit "klugsch****" zu tun. Deine Umformungsschritte sind falsch! f(x) = x² - 4x - 8 = (x - 2)² - 12 => S(2\|-12) Dies ist eine Parabel - Umkehrfunktionen können aber nur von streng monotonen Funktionen gebildet werden, diese ist aber f(x) nicht! Daher gibt es für diesen Fall 2 Umkehrfunktionen: y = (x - 2)² - 12 <=> y + 12 = (x - 2)² Wir führen jetzt, wie auch Henrik schon beschrieben, den nicht äquivalenten Umformungschritt durch und ziehen die Wurzel aus der Gleichung, müssen aber beachten, dass es zwei Lösungen geben kann! 1) Wurzel(y + 12) = x - 2 <=> x = Wurzel(y + 12) + 2 => f^(-1)(x) = Wurzel(x + 12) + 2 2) -Wurzel(y + 12) = x - 2 <=> x = -Wurzel(y + 12) + 2 => f^(-1)(x) = -Wurzel(x + 12) + 2 Definitionsbereich der Ausgangsfunktion f(x) stimmt mit den Wertebereichen beider Umkehrfunktionen überein (Die Menge beider Wertebereiche!) Ebenso wie der Wertebereich der Ausgangsfunktion mit dem Definitionsbereich der Umkehrfunktionen übereinstimmt. Noch ein Hinweis. Man kann seine Ergebnisse auch mit filgender Probe überprüfen. Für Funktionen und deren Umkehrfunktionen gilt: f o f^(-1): f( f^(-1)(x) ) = x (gesprochen "f von der Umkehrfunktion von f ist x") Nehmen wir einmal 1) aus deinem Beispiel: f(x) = (x - 2)² - 12 f^(-1)(x) = Wurzel(x + 12) + 2 f( f^(-1)(x)) (Wurzel(x + 12) + 2 - 2)² - 12 = (Wurzel(x + 12))² - 12 = x, eine wahre Aussage
05.11.2003, 21:29	phil	Auf diesen Beitrag antworten »
ich wuerd sagen, es gibt nicht 2 loesungen, sondern gar keine... fuer f(x)=x²-4x-8 \| x element reelle zahlen (sorry fuer meine klugscheisserei, aber jetzt bin ich wenigstens ne natuerliche zahl )
05.11.2003, 21:50	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
jaja robert aber so ernst nimmt man das ja in der klassenstufe noch nich
06.11.2003, 12:21	Mathefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
@pphisch Wenn du schon eine Behauptung in den Raum stellst, musst du sie auch belegen, per Beweis. Des Weiteren verstehe ich nicht, wie du auf keine Lösung kommst, da die Aufgabe in beiden Post vorher exakt gelöst wurde. Ich gehe mit, wenn du sagst, dass es für ganz f(x) nicht eine ganze Umkehrfunktion gibt, aber durchaus zwei, was auch legetim ist!
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07.11.2003, 18:11	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Angabe: Eine Funktion wird beschrieben durch eine Definitionsmenge, eine Wertemenge, sowie der Abbildungsvorschrift. Hier können wir nur raten, was Definitions- und Wertemenge sind. Es gibt einen Satz in der Mathematik, der besagt: Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f', wenn f bijektiv ist. f ist bijektiv genau dann, wenn jedes y aus der Wertemenge genau einmal "erwischt" wird. Nehmen wir an D=R und W=R. Dann ist f(x)=x²-4x-8 nicht bijektiv, weil sowohl f(0)=-8 als auch f(4)=-8. -8 wird zweimal "erwischt". Andere Werte, wie z.B. -100 werden gar nicht "erwischt". Also ist f: R->R nicht bijektiv und damit hat es KEINE Umkehrfunktion. Man muss sowohl Definitions- als auch Wertemenge einschränken um f invertierbar zu machen: g: [2;inf[ -> [-12;inf[ ; x => x²-4x-8 ist invertierbar mit der Umkehrfunktion g': [-12;inf[ -> [2;inf[ ; x => sqrt(12+x)+2 Nochmals f: R -> R; x => x²-4x-8 hat keine Umkehrfunktion!!! Und schon gar nicht zwei. Was ist eine Umkehrfunktion? Definition: Sei f: G->H ein Funktion. Eine Funktion f': H->G ist genau dann die Umkehrfunktion von f, wenn für alle u aus G gilt: f'(f(u))=u und für alle v aus H: f(f'(v))=v. Aus dieser Definition kann man beweisen, dass a) die Umkehrfunktion eindeutig ist. (Es kann keine 2 Umkehrfunktionen geben) b) eine Funktion dann und nur dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn sie bijektiv ist.
07.11.2003, 19:43	phil	Auf diesen Beitrag antworten »
@martins1 danke man kannst auch geometrisch begruenden, die umkehrfunktion ist die funktion, die man erhaelt, wenn man die funktion an f(x)=x spiegelt... und bei f(x)=x²-4x-8 erhaelt man dann keine funktion...
07.11.2003, 19:59	jama	Auf diesen Beitrag antworten »
man möge sich auch folgende seite zu gemüte führen: http://miss.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node77.html im grunde das, was pphisch und martins1 schon erläutert haben

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