Restklassenbeweis korrekt? |
| 29.09.2004, 22:52 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Restklassenbeweis korrekt? |
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| 29.09.2004, 23:11 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo, dein Beweis sieht gut aus. Allerdings stört mich die Formulierung "Die Multiplikation ist bijektiv" ein wenig, denn bei einer bijektiven Abbildung ist die Faser jedes Elementes der Definitionsmenge einelementig. Die gilt bei der Multiplikation jedoch nicht für die 0. |
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| 30.09.2004, 00:41 | Brynn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo Gustav, Ein paar Anmerkungen: - Wer genau ist denn R_p? Wer sind die Elemente des R_p und wie sind die Verknüpfungen definiert? (Nur zu meiner Info. Für mich sieht es so aus, als wären die Elemente ganze Zahlen - was eher unüblich ist.) - Die Stelle a*(b-b') = 0 mod p => b-b' = 0 mod p benötigt noch eine Begründung, denn sie ist die einzige, an der die Primalität von p benötigt wird. - Der Klammerzusatz "trivial" ist eher unangebracht, wenn danach ein halbseitiger Beweis kommt. *ggg* - Die Stelle (b-b')|p ist verkehrt herum. Äquivalent zu b-b' = 0 mod p ist p | b-b'. Und der Weg bis zum Ende verändert sich dann auch. Grüsslis, Brynn |
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| 30.09.2004, 12:29 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Der Restklassenring zu einer Primzahl p. Die Verknüpfungen sind gemäß der Restklassenaddition und -multiplikation (Verknüpfung mit anschließendem Modulo p) definiert. Im eigentlichen Sinne sind die Elemente des Rings Faktorräume aus . Man kann es aber vereinfachen zu ganzen Zahlen R = {1, 2, ..., p-1}.
Ja und nein. Es wurde nur gesagt, dass bei einer Gleichung vom Typ a * (b-b') = 0 (mod p) die Lösung für nur (b-b') = 0 (mod p) lauten kann. Da a multiplikativ Inverse(s) besitzt, muss a auch teilerfremd zu p sein. Es bleibt also nur die einzige Lösung (b - b') = 0 (mod p).
b und b' sind kleiner als p. (b - b') ist auch kleiner als p, denn die Addition ist abgeschlossen. (Der Ring zu einer Primzahl bildet sogar einen Körper). Man muss hier ja nicht äquivalent folgern sondern sagt einfach: a teilt nicht p, a < p (b - b') teilt nicht p, (b - b') < p => Widerspruch zu a * (b - b') = 0 (mod p) |
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| 30.09.2004, 13:06 | Don Erstag | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Einige von uns wissen, wer der Restklassenring modulo p ist, aber weiß Gustav das? Und eigenlich dürfte nur Gustav uns sagen können, wer R_p ist, oder kennst du seine Vorlesung? 
Die Restklassen sind nicht Faktorräume, sondern sind die Nebenklassen von pZ in Z. Der Restklassenring selbst ist der Faktorraum Z/pZ. Die ganzen Zahlen 0, ..., p-1 sind Repräsentanten der Elemente von R_p. R_p lässt sich also so schreiben (nicht "vereinfachen zu"): .
Und warum besitzt a ein multiplikativ Inverses? Weil a teilerfremd zu p ist. Du drehst die Argumentation um! Richtig ist: Weil a teilerfremd zu p ist, besitzt a ein multiplikativ Inverses und deshalb kann man die Kongruenz durch a teilen.
Siehst du den Unterschied zwischen (b-b')|p und p|(b-b') ? 
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| 30.09.2004, 13:36 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Zum ersten Teil stimm ich dir zu. Hab ich was verdreht. Sorry. Aber ich denke jeder, der das nicht ganz so penibel sieht weiss, was ich mit "vereinfachen" gemeint habe. Ich denke, dass meine Reihenfolge der Schlussfolgerungen richtig ist, denn er macht hier einen Beweis durch Widerspruch und nimmt an, a sei invertierbar. Also kann man folgern, dass a teilerfremd zu p sein muss, unabhängig davon, ob p prim ist oder nicht. Und ja, ich seh den Unterschied. Mein Vorschlag sollte alternativ sein. |
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| 30.09.2004, 18:17 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Vielen Dank für eure Kritik! Wenn ich nun den letzten Teil umformuliere zu als Widerspruch zu p > (b - b') so wäre der Beweis korrekt? |
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| 30.09.2004, 22:29 | Don R. Wetter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
@Tobias: Du hast damit recht, dass Gustav die Invertierbarkeit von a annimmt, gleichzeitig nimmt er auch die Teilerfremdheit zu p an (indem er a != 0 verlangt). Nur eins der beiden ist nötig, das andere lässt sich jeweils mit der Primalität von p zeigen. Ich weiß was du mit vereinfachen meinst - was du hoffentlich auch meinem Beitrag entnehmen konntest. Ich sagte nur, dass es keine "Vereinfachung" im mathematischen Sinne, sondern eine wesentliche Veränderung ist, da du Restklassen (Mengen von Zahlen) durch Zahlen ersetzt. Aus , folgt . Wie folgt daraus der Widerspruch zu , also zu a * (b - b') = 0 (mod p)? Gegenbeispiel: 10 teilt nicht 5, (3-2) teilt nicht 5, trotzdem ist 10*(3-2) = 0 mod 5. Du hast im Gegenteil die Annahme, dass p kein Teiler von a und kein Teiler von b-b' ist - eine grundverschiedene Aussage. @Gustav: Dieses Beispiel zeigt auch, dass allein die Bedingung "a != 0" für eine ansonsten beliebige ganze Zahl a nicht ausreicht, sondern man braucht dann wirklich, dass a aus {1, ..., p-1} gewählt ist, also teilerfremd zu p ist. Wenn du p|(b-b') schreibst, ist diese Stelle richtig, denn wegen 0 < b-b' < p erhältst du einen Widerspruch. |
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