Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

12.03.2007, 13:05

holzfäller

Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Hallo Leute!
In der Klausur war folgende Aufgabe:

Prüfen Sie, ob das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{+\infty}~\frac{1}{1-x^2}\cos(kx)~dx \end{eqnarray*}$
für alle k aus Z konvergiert.

Ich hab keine Ahnung ob man so argumentieren kann:

1/(1-x²) konvergiert gegen 0

Und da der Kosinus eine konvergente Funktion ist und für alle k aus Z definiert ist, konvergiert das komplette Integral für alle k aus Z

//mit Z sind hier die ganzen Zahlen gemeint ;-)

Gruß holzfäller

12.03.2007, 13:14

WebFritzi

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RE: Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Zitat:

Original von holzfäller
eine konvergente Funktion

...gibt es nicht!

Tipp:
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{1 - x^2}\cos(kx)\right| \le \frac{1}{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$

12.03.2007, 13:15

Popeye

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RE: Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Zitat:

Original von holzfäller
Hallo Leute!
In der Klausur war folgende Aufgabe:

Prüfen Sie, ob das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{+\infty}~\frac{1}{1-x^2}\cos(kx)~dx \end{eqnarray*}$
für alle k aus Z konvergiert.

Ich hab keine Ahnung ob man so argumentieren kann:

1/(1-x²) konvergiert gegen 0

Und da der Kosinus eine konvergente Funktion ist und für alle k aus Z definiert ist, konvergiert das komplette Integral für alle k aus Z

//mit Z sind hier die ganzen Zahlen gemeint ;-)

Gruß holzfäller

Mit der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ gegen 0 ist nichts gezeigt.

Überleg Dir mal folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\ln(x+1)-\ln(x-1)) \end{eqnarray*}$ ist Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \cos(kx) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt...

12.03.2007, 14:05

WebFritzi

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RE: Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Zitat:

Original von Popeye
Überleg Dir mal folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\ln(x+1)-\ln(x-1)) \end{eqnarray*}$ ist Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Ist doch vieeel zu kompliziert. Geht ganz einfach mit Majorantenkriterium.

Zitat:

Original von Popeye
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \cos(kx) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt...

Das hatte ich doch schon erwähnt.

12.03.2007, 14:43

Popeye

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RE: Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

Zitat:

Original von WebFritzi
Das hatte ich doch schon erwähnt.

Beachte doch mal die Zeitstempel unserer Antworten...

12.03.2007, 15:14

WebFritzi

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Äh, ja.

14.03.2007, 15:25

holzfäller

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Heyho!
Ich meinte doch beschränkt ;-)
Ja ist aber meine Argumentation so richtig?
Ich meine, dass wir in der Vorlesung einen Satz hatten der besagt, dass das Produkt zweier beschränkten Funktionen ebenfalls beschränkt ist. verwirrt

Wobei ich ihn gerade im Skript nicht finde..

Gruß holzfäller

15.03.2007, 02:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von holzfäller
Ja ist aber meine Argumentation so richtig?

Nein. 1/x konvergiert auch gegen Null, das Integral davon ist aber nicht konvergent.

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Konvergenz eines uneigentlichen Integrals

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