Volumen einer Schachtel

12.03.2007, 15:01

tim taler

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Volumen einer Schachtel

Hallo Mathefreunde,

ich bin bei der Berechnung dieser Aufgabe, komme jedoch nicht ganz zum Ende...
Aufgabe: Aus einer quadratischen Pappe mit der Seitenlänge 1m soll eine oben offene Schachtel angefertigt werden. Dazu sollen aus den Ecken der Pappe gleichgrosse Quadrate ausgeschnitten und danach die Seiten hochgeklappt und zusammengekebt werden. Wie gross müssen die auszuschneidenden Quadrate sein, damit die Schachtel maximales Volumen hat?
Als erstes fiel mir auf das die Seitenlänge der Eckquadrate gleich der Höhe der Schachtel ist... Nun hab ich mit verschieden Werten durchgerechnet und dabei festgestellt, das bei einer Seitenlänge der Eckquadrate von 0,1m ein Volumen von 0,064m³ergibt.
Wie aber komme ich nun zum Maximum?

Gruss tt

12.03.2007, 15:08

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
Also betrachten wir einmal 2 Extremfälle. Dabei sei s die Seitenlänge der ausgeschnittenen Quadrate (cm)

$\begin{eqnarray*} s = 0 \Rightarrow V(s) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s= 50 \Rightarrow V(s) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s \in (0,50) \end{eqnarray*}$

Wie lautet nun die Volumenformel für die Schachtel?

$\begin{eqnarray*} V(s) = s \cdot (100 - 2s)^2 \end{eqnarray*}$

Davon musst Du nun das Maximum bestimmen.

12.03.2007, 15:19

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
Habe es zwar nicht mir dieser Formel gerechnet aber nach meiner Berechnung kommt das Gleiche raus... Kannst Du mir vielleicht bitte sagen wo Du die Formel entnommen hast oder wo es eine gute Formelübersicht für solche und ähnliche Geometriekörper und Flächen gibt? Denn in den "alltäglichen" geometrischen Formelsammlungen ist keine Schachtel z.B. enthalten...

Wie kann ich jetzt von
V= s*(100cm -2s)hoch2
das Maximum bestimmen?

12.03.2007, 15:24

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
Die Formel ist einfach die für das Volumen eines Quaders. Die Seitentlängen habe ich durch Denken erhalten. Dazu brauche ich meinen Kopf und den kannst du nicht haben Big Laugh

Big Laugh

Was ist eine notwendige Vorrausetzung für ein Maximum einer Funktion?

12.03.2007, 15:39

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
Schade ist bestimmt ein schöner Kopf :-)
Voraussetzung ist das s größer 0 sein muss!? Oder was meinst Du?

12.03.2007, 15:41

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
Wenn Du deinen Kopf mal benutzen würdest, würdest Du die Antwort bereits kennen.

Zitat:

tigerbine

$\begin{eqnarray*} s \in (0,50) \end{eqnarray*}$

Das Stichwort hier heißt: Ableitung!

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17.03.2007, 16:59

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
Kommt hier eigentlich noch was?

17.03.2007, 17:02

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
natürlich, muss aber noch etwas wiederholen, melde mich wenn ich richtig abgeleitet habe...

17.03.2007, 17:07

riwe

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RE: Volumen einer Schachtel
vielleicht hilft dir auch das.
interessant ist es auf jeden fall
werner

17.03.2007, 17:18

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
wie immer DANKE nach Linz!
ist wirklich interessant und die Ableitungsregeln an sich sind ja auch nicht schwer, aber in welcher Reihenfolge ich bei dieser Volumenformel nun ableiten soll weiß ich nicht...

17.03.2007, 17:20

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
$\begin{eqnarray*} V(s) = s \cdot (100 - 2s)^2 = s \cdot (100^2 - 200s + s^2) = 100^2\cdot s - 200\cdot s^2 + s^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(s)=100^2 - 400 \cdot s + 3\cdot s^2 \end{eqnarray*}$

17.03.2007, 17:28

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
die binomische Formel auflösen und ausmultiplizieren ... Danke Tigerbine, nun muss ich diese 1. Abl. gleich 0 setzen und erhalte 2 Lösungen für s.

s= 100 bzw. s=33.33333
Relevant ist nur s= 33.33333 cm oder 0.333333m
und das wars schon? wäre dann ja doch nicht soooo kompliziert wie ich dachte...

17.03.2007, 17:29

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
$\begin{eqnarray*} V'(s) = 0 \Rightarrow s_{1,2} = \frac{400 \pm \sqrt{400^2-12\cdot 100^2}}{6}=\frac{400 \pm 200}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_1=100,~s_2\approx 33.33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V''(s) = -400 + 6\cdot s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V''(s_1)=200 > 0 \Rightarrow \text{ Minimum } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V''(s_2)=-200 < 0 \Rightarrow \text{ Maximum } \end{eqnarray*}$

Und dann war ja noch $\begin{eqnarray*} s\in(0,50) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.03.2007, 18:46

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
Alle Lösungen der ersten Ableitung sind ja "mögliche" Extremstellen...
Die zweite Abl <0 stellt das lokale Maximum und >0 das lokale Minimum dar. ok.
da aber der wert im intervall [0,0.5] liegen muss kann als Ergebnis doch nur s2 = 33,33 cm gelten. Ist das richtig oder sollte ich das weiter begründen?

17.03.2007, 18:49

tigerbine

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RE: Volumen einer Schachtel
Das reicht.

17.03.2007, 18:52

tim taler

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RE: Volumen einer Schachtel
Vielen Dank!

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