Ableitung von 1/x und Auflösungsprob

30.09.2004, 18:38

soXX

Ableitung von 1/x und Auflösungsprob

Hi
kann mir einer sagen was die Ableitung von 1/x is???
Is wirklich dringend.
Außerdem weiß ich net wie ich bei folgender Gleichung nach a auflösen kann:

2,5=a+1/a

traurig

30.09.2004, 18:42

Mazze

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Zur Ableitung sagt Dir die Quotientenregel was? Augenzwinkern

Zum Auflösen

Multipliziere beide Seiten mit a Du bekommst eine quadratische Gleichung die Du per p-q-Formel lösen kannst.

30.09.2004, 18:47

grybl

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Du kannst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ umformen und dann die Potenzregel anwenden. smile

30.09.2004, 18:51

mYthos

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Nein, für 1/x braucht man NICHT die Quotientenregel verwenden (KANN man ;-) )

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \end{eqnarray*}$

Und nun nach der Potenzregel:

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = -x^{-2} = - \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

P.S.: Es gibt den ganzen Tag die größten Probleme mit dem Server, Antworten erstellen ist fast unmöglich! Besonders die Auflösung des Latex-Codes braucht enorm viel Zeit!!

08.01.2012, 15:11

Lulz

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Quotientenregel kann man nur bei einem Bruch der form "f(x) / g(x)" anweden,
da 1 aber keine funktion von x ist geht's in dem fall nicht.

09.01.2012, 10:00

mYthos

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Das ist ein Unsinn. Deswegen hättest du nicht - völlig unnötig - einen mehr als 7 Jahre alten Thread ausgraben müssen (!)
Selbstverständlich kann man auch bei 1 im Zähler die Quotientenregel anwenden!

$\begin{eqnarray*} \frac 1 x \ \to \ \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac 1 {x^2} \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 16:56

Zwergsocke

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und wer's unbedingt anders bewiesen haben möchte.... HIER:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} (\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} ) \end{eqnarray*}$

Das sollte soweit klar sein....
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

müsste auch klar sein, im nächsten schritt dann die oberen beiden brüche auf den selben nenner bringen, und den doppelbruch auflösen:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{x_0-x}{x*x_0*(x-x_0)} \end{eqnarray*}$
klammert man unten -1 aus, so kann man den bruch kürzen, x durch xo ersätzen.
Übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \frac{1}{(x_0)^2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich konnte weiterhelfen.

25.04.2012, 01:31

mYthos

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Wem?

(Bitte mal auf das Datum sehen ...)

mY+

12.01.2013, 20:00

ewi

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fands doch hilfreich danke smile

13.01.2013, 01:57

10001000Nick1

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Jetzt muss ich den Thread auch nochmal ausgraben: Zwergsocke hat beim Beweis einen kleinen Fehler gemacht. Er hat -1 ausgeklammert, aber in der letzten Zeile fahlt diese dann: Es muss heißen: $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{1}{x_0^2}. \end{eqnarray*}$

15.01.2016, 03:55

Rocballer

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und könnte mir jemand sagen weshalb die u' , also die Ableitung von 1 plötzlich zur Null ( 0 ) wird und nicht komplett weg fällt? x wird abgeleitet zu 1, aber weshalb 1 zur 0? Bei vielen anderen Rechenregeln fällt die einzelne Zahl weg und wird nicht zur Null, was auch wenn dort mit Null multipliziert würde, wie auch bei der oberen Funktion ein anderes Ergebnis ergeben würde.

Danach hab ich eigtl. im Netz gesucht.

15.01.2016, 09:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Rocballer
weshalb die u' , also die Ableitung von 1 plötzlich zur Null ( 0 ) wird

Der Graph der Funktion f(x)=1 ist eine waagrechte Gerade, die also überall die Steigung Null hat.

Zitat:

Original von Rocballer
und nicht komplett weg fällt?

Sie fällt dann doch weg! Nullsummanden fallen immer weg.

Zitat:

Original von Rocballer
Bei vielen anderen Rechenregeln fällt die einzelne Zahl weg und wird nicht zur Null, was auch wenn dort mit Null multipliziert würde, wie auch bei der oberen Funktion ein anderes Ergebnis ergeben würde.

Das hab ich jetzt nicht verstanden.

Viele Grüße
Steffen

15.01.2016, 09:50

HAL 9000

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Ich versuche mal in die schräge Gedankenwelt abzutauchen und erahne, was Rocballer womöglich im Sinn hat:

Wenn in $\begin{align*} \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{align*}$ mit $\begin{align*} u=1 \end{align*}$ das $\begin{align*} u' \end{align*}$ einfach "wegfällt", dann ist er vielleicht der Meinung, dass dann dort noch $\begin{align*} \frac{v-1v'}{v^2} \end{align*}$ stehenbleibt. Was natürlich Unsinn ist: Lässt man in einem Produkt einen Faktor weg, dann hat das wertmäßig dieselbe Wirkung, wie wenn das der "neutrale" Faktor 1 gewesen wäre. Und $\begin{align*} u'=1 \end{align*}$ ist im Fall $\begin{align*} u=1 \end{align*}$ ja nun völlig abwegig. Augenzwinkern

15.01.2016, 17:38

Rocballer

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Vielen Dank für die Zeitnahe Antwort euch beiden!

(Leider ist die Antwort direkt unter meiner Frage war auf jeden Fall falsch, zumindest bei der Quotientenregel.)

Du kommst in meine Richtung (y)
und näherst dich meiner an.

Also wenn ich f(x) habe und dort eine Zahl addiert o. subrahierter weise angefügt ist, fällt diese bei f ' (x) weg. Spielt also keine Rolle mehr.

Benutze ich aber die Quotientenregel und habe zB. ganz einfach ein f(x)= 1/x^5 und mache dann aus der 1 das u ' , wird dieses zur Null. (fällt nicht weg) somit kommt natürlich etwas anderes bei der Berechnung heraus als würde es wegfallen, denn 0*x^5 ist Null wohingegen bei einem wegfall x^5 bleiben würde (auf dem Bruchstricht. Bei diesem Bsp: f ' (x) = 0*x^5-1*5x^4 / (x^5)^2 )

Wollte nur wissen ob es eine Regel/Beweis gibt weshalb i.d.Fall ,0' und nicht Wegfall.

15.01.2016, 17:43

Rocballer

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,,Mythos" hat es weiter oben in einer schönen Symbolschreibweise (übersichtlicher) mit 1/x richtig gelöst, nur leider auch ohne Erklärung/Beweis.

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