Dreiecksaufteilung

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gast Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksaufteilung
Ein Dreieck ABC wird von zwei sich kreuzenden Geraden g und h in vier teile zerteilt, von denen g durch den Punkt A, h durch den Punkt B geht.
Drei Teile haben den Flächeninhalt 30, 70, 70. Wie groß ist der viertel Teil.
Kann mir jemand dabei helfen?
Danke schön!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es etwa sein, dass diese Aufgabe aus einem Wettbewerb stammt?

Aus (laufenden) Wettbewerben sollten keine Aufgaben beantwortet werden.

Gr
mYthos
 
 
gast Auf diesen Beitrag antworten »
Nix wettbewerb
ICh brauchs aber nicht für irgendeinen komischen Wettbewerb (Gott bewahre) sondern nur für eine Ralley unter Freunden!
maxxchen Auf diesen Beitrag antworten »
laufende Wettbewerbe?
...mit Füßen und so? Neine Scherz beiseite, warum sollten von Wettbewerben keine Fragen beantwortet werden, bzw. welche Wettbewerbe meinst du damit?

Gruß maxx Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: laufende Wettbewerbe?
Damit meint mythos sicher "Mathematikwettbewerbe", die zur Zeit laufen. So z.B. die Mathematikolympiade oder ähnliches. Aber wer da lügt, betrügt sich eh selbst und kommt sowieso nich weit.
Allerdings weiß ich nichts über die Frage, aber auch bei einer Ralley unter Freunden, warum sollten wir ihm das lösen?

@gast
Egal ob Wettbewerb oder Ralley, hast du vielleicht selbst ne Idee?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksaufteilung
Zitat:
Original von gast
Drei Teile haben den Flächeninhalt 30, 70, 70. Wie groß ist der viertel Teil.


1190/3
double c Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksaufteilung
Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von gast
Drei Teile haben den Flächeninhalt 30, 70, 70. Wie groß ist der viertel Teil.


1190/3

leite mal her oder veröffentliche den rechenweg

also ich hab mal just foe fun das dreieck aufgemalt und an einem punkt ein koordinatensystem errichtet

ab ist dann die x und ac die y achse

aber jetzt komm ich nicht weiter ich glaube es muss irgendiwe vektoriell berechnet werden wie die flächen sind und daraus kann man dann die geradengleichungen herleiten.
wenn man beide hat , ist es kein problem mehr die restl fläche zu berechnen.

nur das wie bleibt im raum stehen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier eine Euklid-Datei.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das für alle dreiecke gelten soll, muß es erst recht für ein gleichseitiges gelten,
und dann läßt sich das problem leicht mithilfe der analytischen geo. lösen.

ich erhalte - vermutlich mit den obligaten rechenfehlern traurig - :

F4 = 1220/3


werner

habe es nochmal ohne rundungsfehler nachgerechnet:

F = 1190/3

da eine eindeutige (affine) abbildung eines beliebigen dreiecks
auf das gls. dr. ((-1,0),(1,0),(0,sqr(3))) existiert, sollte diese idee korrekt sein
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Kannst du es vielleicht möglich machen, dass man auch ohne Euklid die Lösung trotzdem irgendwie mitbekommt?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksaufteilung
Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von gast
Drei Teile haben den Flächeninhalt 30, 70, 70. Wie groß ist der viertel Teil.


1190/3


danke für die tolle euklid-grafik
kannst du mir sagen, wie der radius k1 entsteht, der faktor 68/3?
legen die radien k2, k3 das verhältnis der flächen fest?

danke
werner
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgabe mit Hilfe sogenannter baryzentrischer Koordinaten gelöst.

Als Flächeninhalt von ABC habe ich mit meinem CAS den Wert f=1700/3 berechnet. Da dieser zur Bildschirmdarstellung mit Euklid zu groß ist, habe ich ihn durch 50 dividiert (weswegen später alle Flächeninhalte mit 50 multipliziert werden müssen, um auf 70,70,30 zu kommen), macht 34/3. Da die Grundseite c variabel ist (man kann ja an A,B ziehen), der Flächeninhalt aber 34/3 sein soll, folgt für die Höhe auf c der Wert 68/(3c). So kommt es dazu.

Die baryzentrischen Koordinaten des Punktes P sind

Mit ihrer Hilfe habe ich den Punkt P konstruiert.

Ich habe die Aufgabe auch gleich allgemeiner gelöst: Wenn nämlich die Flächeninhalte der Polygone

der Reihe nach x,y,z sind, folgt für den Flächeninhalt f des Dreiecks ABC:

Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte keine Zeit mich mit dieser Sache zu befassen,
nun hab ich's nachgeholt.

Also, was das für 'ne Aufteilung ist die von Leopold vorgenommen
wurde kann ich nicht beurteilen, meine Aufteilung liefert
exakt den Flächenwert

180

für die vierte Dreiecksteilfläche
.


entweder es gibt mehrere Lösungsvarianten (was ich nicht aus-
schließen will), oder die Variante von Leopold ist falsch, denn meine
ist richtig . Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Geraden g,h mögen sich in P schneiden. g möge BC in und h möge AC in schneiden. Je nachdem, wie man die gegebenen Inhalte 70,70,30 auf die Dreiecke und das Viereck verteilt, erhält man unterschiedliche Lösungen.
Ich habe es so gemacht: x=70 (Inhalt ), y=70 (Inhalt ), z=30 (Inhalt ). Dann ergibt sich mit der Formel aus meinem letzten Beitrag f=1700/3 als Inhalt von ABC, also 1190/3 als Inhalt von ABP.
Wenn du in meinem letzten Beitrag dagegen x=70, y=30, z=f-170 (der Inhalt von ABP wird also als 70 vorgegeben) setzt, erhältst du für den Inhalt von ABC den Wert f=350, also 180 als Inhalt von . Somit wäre das eine zweite Lösung der Aufgabe.
Und durch andere Aufteilungen bekommt man weitere Lösungen.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Mit den mehreren Lösungen das überrascht mich nicht weil die
vier Teile nichtmal alle Dreiecke sind. War aber ehrlich zu faul da
weiter drüber nachzusinnen.

Meine Lösung ist auf etwas andere Weise entstanden

Gib eine beliebige Strecke BP vor, zeichne beidseitig Parallelen zu
BP im Abstand 140/BP.
Verlängere BP über P um 3/7*BP zum Punkt Qb.
Nun zeichne 'beliebige' Gerade durch P. Die Schnittpunkte mit
den beiden Parallelen sind A und Qa. Verbinde A mit Qb und
B mit Qa. Deren Verlängerungen schneiden sich in C.

Das so entstandene Gebilde erfüllt die geforderten Voraussetzungen
mit den Dreiecken ABP(70), PBQa(70) und APQb(30)

und es lässt sich recht leicht ermitteln, dass die Höhe vom Dreieck
QbBC 350/BP beträgt, unabhängig ist von der Wahl der Geraden g.

Alle so erhältlichen Punkte C liegen auf der Parallelen zu BP im
Abstand 350/BP
.
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