Mehrfachintegrale

12.03.2007, 15:42

Phil80

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Mehrfachintegrale

Wäre nett wenn mal jemand drüber schaut ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe...

Also erstamal die Aufgabe:

Berechnen sie die Masse des Körpers, der begrenzt wird durch die Ebenen x+z=2, z=0, x=0 und y=4. Die massendichte im Punkt (x,y,z) sei gegeben durch $\begin{eqnarray*} P(x,y,z)=(x*z)/\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} J=p*\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}\int_{0}^{2}(x²+y²)dz~dy~dx\ \end{eqnarray*}$

Danke schon mal im Vorraus

Gruß Phil

Edit: y=0

12.03.2007, 15:44

WebFritzi

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RE: Mehrfachintegrale

Zitat:

Original von Phil80
die Ebenen x+2=2, ...

Also x = 0? verwirrt

verwirrt

12.03.2007, 15:46

Phil80

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ups...
edit...

12.03.2007, 16:37

Harry Done

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Wieso nicht der Ansatz:

$\begin{eqnarray*} dm=\rho dV \end{eqnarray*}$ ?

Also: $\begin{eqnarray*} m=\int \int\int \rho (x,y,z) dx dy dz \end{eqnarray*}$

wenn du die Integrationsreihenfolge $\begin{eqnarray*} dz dy dx \end{eqnarray*}$ wählst, würde ich sagen, dass dann $\begin{eqnarray*} z=0...2-x \end{eqnarray*}$ gilt.

12.03.2007, 16:44

WebFritzi

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RE: Mehrfachintegrale

Zitat:

Original von Phil80
Berechnen sie die Masse des Körpers, der begrenzt wird durch die Ebenen x+z=2, z=0, x=0 und y=4.

Dieser "Körper" hat unendliches Ausmaß für y -> -oo. Ist das so gewollt?

12.03.2007, 16:53

Phil80

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unglücklich

unglücklich

..laut Aufgabenstellung schon

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12.03.2007, 17:03

WebFritzi

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Für mich fehlt da eine Ebene y = a mit a >= 0, weil sonst die Wurzel(y) in der Massendichte-Funktion keinen Sinn machte.

12.03.2007, 17:27

Phil80

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das ist ne alte Klausuraufgabe also gehe ich mal davon aus das die Aufgabenstellung richtig ist. Habe aber auch leider keine Lösung um es wenigstens nachzuvollziehen...

12.03.2007, 18:16

WebFritzi

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Zitat:

Original von Phil80
das ist ne alte Klausuraufgabe also gehe ich mal davon aus das die Aufgabenstellung richtig ist.

Ist sie aber nicht. Lehrer

Lehrer

12.03.2007, 18:23

Leopold

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Wie wäre es mit der weiteren Randebene $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ? Das steht zwar nicht in der Aufgabe, aber es würde so schön passen. Daß das Integral dabei uneigentlich wird, ist kein großes Problem. (Was soll übrigens der merkwürdige Integrand im Ansatz von Phil80? Auch bei den Integrationsgrenzen stimmt es wohl so nicht.)

12.03.2007, 18:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Wie wäre es mit der weiteren Randebene $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ?

Als ich die Aufgabe gerechnet habe, habe ich genau diesen Wert verwendet. Aber wieso passt das so toll? Es könnte auch y = 0.5 sein. Es ist in der Aufgabe nicht angegeben, wo die linke Grenze liegt.

12.03.2007, 18:40

Leopold

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Erstens: Null ist eine schöne Zahl. Zweitens: Das Prisma liegt schön in der "Ecke" des Koordinatensystems. Drittens: Es läßt sich leicht rechnen.

Lauter ästhetische Argumente ... Big Laugh

Big Laugh

Und daß du selbst auch mit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ gerechnet hast, zeigt, daß deinem innersten Wesen die wahre Schönheit nicht fremd ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich gibt es aus Sicht der "kühlen" Mathematik überhaupt keinen Grund für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Da würde es $\begin{eqnarray*} y = 3{,}89041 \end{eqnarray*}$ auch tun.

12.03.2007, 18:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Und daß du selbst auch mit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ gerechnet hast, zeigt, daß deinem innersten Wesen die wahre Schönheit nicht fremd ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du meinst: "innewohnt". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Leopold
Natürlich gibt es aus Sicht der "kühlen" Mathematik überhaupt keinen Grund für $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Da würde es $\begin{eqnarray*} y = 3{,}89041 \end{eqnarray*}$ auch tun.

Neee. Das finde ich nicht so schön.

12.03.2007, 18:49

Phil80

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So, hab mich nochmal schlau gemacht und Leopold hat recht y=0. Sorry meiner seits Aufgabenstellung war Falsch hab sie an anderer Stelle nochmals gefunden.

12.03.2007, 18:52

Leopold

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Na dann los!

Bevor du aber anfängst, irgendwelche Formeln aufzustellen, solltest du dir den betreffenden Bereich skizzieren. Tip: Es ergibt sich ein Prisma.

12.03.2007, 18:55

WebFritzi

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Was ist denn ein Prisma? Bei mir kommt ein "zylindrisches Dreieck" raus, wenn du verstehst, was ich meine.

12.03.2007, 18:57

Phil80

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der Komische Integrand kommt von:

Definitionsformel:

$\begin{eqnarray*} J=p*\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}r²A~dV \end{eqnarray*}$

In kartesischen Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} J=p*\int_{x=a}^{b}\int_{y=fu(x)}^{fo(x)}\int_{zu(x;y)}^{zo(x;y)}(x²+y²)dzdydx \end{eqnarray*}$

12.03.2007, 18:58

Leopold

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Eben genau - ein Prisma!

12.03.2007, 19:28

Phil80

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ist denn der Ansatz richtig???

Edit: Ist das nicht ein Rechteck???

13.03.2007, 01:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Eben genau - ein Prisma!

Ah ja. Danke.

13.03.2007, 07:08

Leopold

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@ Phil80

Ich begreife deinen Integranden nicht. Müßte es nicht einfach

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathcal{P}}~\frac{xz}{\sqrt{y}}~\mathrm{d}(x,y,z) \end{eqnarray*}$

heißen, wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{P} \end{eqnarray*}$ das durch die Ebenen $\begin{eqnarray*} x=0, \, y=0, \, z=0, \, y=4, \, x+z=2 \end{eqnarray*}$ begrenzte Prisma ist? (Ein Rechteck ist das natürlich nicht, wir sind ja schließlich im dreidimensionalen Raum!) Ich empfehle dir dringend, das Prisma in einem Schrägbild zu skizzieren. Es sieht aus wie ein Quader, der senkrecht zu einer Flächendiagonalen halbiert wird. Vielleicht gehst du zum nächsten Kiosk und kaufst dir erst einmal eine Toblerone ...

13.03.2007, 10:55

Phil80

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unglücklich

ich kapituliere... traurig

traurig

aber vielen dank für die Mühen und Hilfen

13.03.2007, 12:14

WebFritzi

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Warum das denn? Es ist nicht wirklich schwierig. Ich glaube, du kapitulierst vor deiner Faulheit und dir selber. Reiß dich doch mal zusammen und versuch wenigstens, die Figur zu verstehen. Hast du schon versucht, es dir aufzumalen?

13.03.2007, 12:29

Phil80

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hab mir gedacht das es etwa so aussieht.??

Edit:
Das das kein Prisma ist sehe ich auch...

13.03.2007, 12:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Phil80
Das das kein Prisma ist sehe ich auch...

Doch, das ist ein Prisma. Jedenfalls nach der Definition in Wikipedia, die der Leopold gestern gepostet hat.

Aber leider ist deine Zeichnung nicht ganz richtig. Du hast alle Ebenen außer x + z = 2 berücksichtigt. Wo bleibt die?

13.03.2007, 12:38

Phil80

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ist das nicht die Fläche bei z=2 und x=2 (Schraffiert)?

13.03.2007, 12:46

WebFritzi

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Öhm nö. x + z = 2 ist eine Ebene.

13.03.2007, 12:53

Phil80

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so?

13.03.2007, 12:59

WebFritzi

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Ich denke, du hast es begriffen. Genauso sieht es aus. War doch gar nicht so schwer, oder? So, und jetzt nur noch die Massendichte-Funktion über diesen Körper integrieren.

13.03.2007, 13:03

Phil80

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Tanzen

Big Laugh

13.03.2007, 13:20

Phil80

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$\begin{eqnarray*} J=p*\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}\int_{0}^{x}(x²+y²)dz~dy~dx\ \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} p=\frac{x*z}{sqrt{y} } \ \end{eqnarray*}$ ist.

13.03.2007, 14:27

Leopold

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Ich verstehe immer noch nicht, was das $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ im Integranden soll. Da gehört meiner Meinung nach das hin, was du vor das Integral geschrieben hast. Denn der von $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ abhängige Faktor hat dort nichts verloren. Schließlich wird ja über $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ integriert. Fürs Integral muß eine richtige Zahl herauskommen, eben die Masse des Prismas. Und überprüfe auch noch einmal die obere Grenze am Integral ganz innen.

13.03.2007, 17:41

Phil80

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Zitat:

Original von Phil80

Definitionsformel:

$\begin{eqnarray*} J=p*\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}r²A~dV \end{eqnarray*}$

Bei Verwendung kartesischer Koordinaten gilt:

$\begin{eqnarray*} r²A=x²+y² \end{eqnarray*}$

13.03.2007, 17:53

Leopold

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Das ist mir leider total unverständlich. $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}V \end{eqnarray*}$ kann ich mir vielleicht noch vorstellen. Ich vermute, daß das auch nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}(x,y,z) \end{eqnarray*}$ ist, zumindest wenn man in kartesischen Koordinaten rechnet. Aber was ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Und was ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ? Und was ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ?

Was du meiner Ansicht nach zu berechnen hast, habe ich in früheren Beiträgen schon gesagt. Ich brauche mich da nicht wiederholen.

13.03.2007, 18:01

Phil80

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ok Fehler meiner seits.

Bin noch nicht so vertraut mit dem eintippen von Funktionen, Formeln etc.
also A ist der Index von r.

r"A"(Index): Senkrechter Abstand des Volumenelementes dV von der Bezugsachse A (siehe Bild)

p soll Roh sein, die Dichte des Körpers.

13.03.2007, 18:12

Leopold

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Bei uns wird aber nicht gedreht. Unser Körper ist ein Prisma und kein Rotationskörper.

13.03.2007, 20:17

Harry Done

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Jetzt verstehe ich auch, was du die ganze Zeit mit deiner Formel meinst, das ist das Trägheitsmoment und nicht die Masse.
Wenn du wirklich das Trägheitsmoment berechnen willst, dann ist deine Formel aber bestimmt nicht korrekt, weil bei ihr eine konstante Dichte vorrausgesetzt wird (das p bei dir steht ja vor dem Integral), das ist hier aber nicht der Fall.
Vielleicht könntest du nochmal genau sagen, was du jetzt tatsächlich berechnen willst. Wenn du wirklich J haben willst, musst du noch sagen, bezüglich welcher Achse du es haben willst.

Wenn du die Masse nur ausrechenn willst, dann nimm einfach:
$\begin{eqnarray*} m=\int_{V}^{}~\rho (x,y,z)~dV=\int\int\int~\rho (x,y,z)~dx dy dz \end{eqnarray*}$
mit den Grenzen, die du ja schon bestimmt hast.

Gruß Jan

14.03.2007, 10:25

Phil80

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Hammer

Hammer

ok alles klar es war dann doch nur die Masse
vielen dank für die Beiträge...

Gru Phil Wink

Wink

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