extremwertprobleme

30.09.2004, 22:51	mrossbyte	Auf diesen Beitrag antworten »
extremwertprobleme so also es geht um folgendes: ich hab 2 dosenzylinderform,dose1 ist höer,aber schmaller,dose2 ist niedriger aber breiter. gegeben ist der oberflächeninhalt S=1dm2 und man soll das größtmögliche volumen herausfinden... also mein ansatz sieht wie folgt aus: V=pir²h s=2grundfläche+mantelfläche(dose hat oben,unten nen deckel) = 2pir2+2pirh dann ist ja 1=2pir²+2pirh das muss man nach h umstellen um es h in V(r) zu ersetzen... für h folgt: h=(1-2pir²) : (2pir) h in v(r) einsetzen: v(r): pir2((1-2pir2) : (2pir)) dat ganze kann man vereinfachen zu v(r)=0,5r - pir³ über v'(r) bekommt man raus das r=sqrt(1 : (6*pi)) ein hochpunkt ist... rechnet man nun weiter(also h) ausrechnen kommt man auf eine dosenhöhe von ~0,46dm was mir als dosenhöhe sehr komisch vorkommt... ist den so der ansatz und die rechnung richtig??
01.10.2004, 07:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt alles. Wenn du ohne Runden rechnest, siehst du noch mehr. Für das maximale Volumen gilt nämlich: $\begin{eqnarray} r=\frac{1}{\sqrt{6 \pi}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=\frac{1-2\pi \left( \frac{1}{\sqrt{6 \pi}} \right)^2}{2 \pi \frac{1}{\sqrt{6 \pi}}} = \frac{\frac{2}{3}}{2 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{6}}} = \frac{2}{6 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{6}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{6 \pi}} \end{eqnarray}$ Es gilt also: $\begin{eqnarray} h=2r \end{eqnarray}$ Die Dose ist also so breit wie hoch. Hier findest du die Aufgabe andersherum: Wann wird die Oberfläche bei festem Volumen minimal?

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