Exponentialfunktion -> Tangente anlegen

12.03.2007, 17:47

Maddy

Exponentialfunktion -> Tangente anlegen

Hallo

Ich hab eigentlich keine Probleme damit, eine Tangente an eine Exponentialfunktion zu legen, allerdings kann ich das nur wenn der Punkt auf der Funktion liegt, was bei der folgenden Aufgabe leider nicht so ist. Kurz gesagt ich muss eine Tangeten anlegen von einem Punkt außerhalb der Kurve.

Die Aufgabe lautet:

K ist das Schaubild der Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{1+2x} \end{eqnarray*}$
Welche Ursprungsgerade berührt K?

Also mein Punkt ist ja A(0|0)

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{1+2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2e^{1+2x} \end{eqnarray*}$

So weit so gut.

Mein Berührpunkt ist ja $\begin{eqnarray*} B (u|e^{1+2u}) \end{eqnarray*}$
Die Steigung in meinem Berührpunkt ist $\begin{eqnarray*} f'(u) = 2e^{1+2u} \end{eqnarray*}$

Soweit stimmt das doch oder?

Somit kann ich doch sagen das meine Tangente bis jetzt so aussieht:

$\begin{eqnarray*} t: y = 2e^{1+2u}x + b \end{eqnarray*}$ Stimmt das? Um sie vollständig aufzustellen mach ich eine Punktprobe mit meinem Berührpunkt.

$\begin{eqnarray*} e^{1+2u} = 2e^{1+2u} * (u) + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{1+2u} = 2ue^{1+2u} + b \end{eqnarray*}$

jetzt sortier ich eben, $\begin{eqnarray*} 2ue^{1+2u} \end{eqnarray*}$ eben auf die linke Seite.

$\begin{eqnarray*} b = -2u \end{eqnarray*}$

Ich werd den Gedanke nicht los, dass ich hier irgendwas falsch bedacht hab, oder stimmt es noch?

Nun weiter, jetzt ist meine Gleichung eigentlich fertig, sie sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y = 2e^{1+2u} * x - 2u \end{eqnarray*}$

Jetzt mach ich die Punktprobe mit meinem Punkt A

$\begin{eqnarray*} 0 = 2e^{1+2u} * (0) - 2u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = - 2u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Tangente würde dann ja so aussehen:

$\begin{eqnarray*} y = 2e^{1} * x \end{eqnarray*}$

Aber das kann doch nicht sein, sie berührt nirgends auch nur annährend meine Kurve. Wo liegt denn mein Fehler? Oder hab ich etwas übersehen?

Danke

12.03.2007, 18:04

Primzahl

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Das b bei deiner Tangente kannst du dir sparen. Was ist denn b nämlich? Nicht vergessen deine Tangente ist eine Ursprungsgerade.

12.03.2007, 18:07

Maddy

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Ja das weiss ich ja, aber ich war so fleißig beim rechnen das ich das übersehen hab Augenzwinkern

Ich such schon dauernd meinen Fehler, aber ich find ihn einfach nicht.

Hat jemand vielleicht einen kleinen Tipp, dass würde mir vielleicht schon helfen Augenzwinkern

12.03.2007, 18:08

Primzahl

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wenn du das b weggelassen hast kannst du doch ganz leicht nach u auflösen. hast doch schon f(x) und die tangente gleichgesetzt.

12.03.2007, 19:21

Maddy

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hmm wenn ich das b weglasse steht doch:

$\begin{eqnarray*} y = 2e^{1+2u} * x \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das denn dann lösen? :-/

Danke

13.03.2007, 10:00

Primzahl

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RE: Exponentialfunktion -> Tangente anlegen

Zitat:

Original von Maddy
$\begin{eqnarray*} e^{1+2u} = 2e^{1+2u} * (u) + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{1+2u} = 2ue^{1+2u} + b \end{eqnarray*}$

Hier hast du doch schon die halbe Lösung stehen. Ohne b hast du nur noch die Variable u und nach der kannst du auflösen.

13.03.2007, 12:02

Maddy

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Hallo

Habs gestern abend noch gelöst bekommen.

$\begin{eqnarray*} t: y = 2e^{2}x \end{eqnarray*}$

Laut Lehrer stimmt es, trotzdem danke für die Hilfe :-)

Grüßle

Nachtrag:

Neue Aufgabe und wieder en Problem unglücklich

Gegeben ist die Funktion f durch $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 - e^{-0,5x} +x \end{eqnarray*}$

Ihr Schaubild ist K. Stellen Sie die Gleichung der Tangete an K in x = u auf. Für welchen Wert von u verläuft die Tangente durch den Punkt A (2|4)? Stellen Sie die exakte Gleichung dieser Tangente auf.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 - e^{-0,5x} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} e^{-0,5x} + 1 \end{eqnarray*}$

Die Ableitung müsste ja noch stimmen.

Mein Berührpunkt ist ja B (u| f(u)), also B (u| $\begin{eqnarray*} 2 - e^{-0,5u} + u \end{eqnarray*}$ )

Meine Steigung im Berührpunkt ist: $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{2} e^{-0,5u} + 1 \end{eqnarray*}$

also ist meine Tangente bis jetzt:

$\begin{eqnarray*} t: y = \frac{1}{2} e^{-0,5u} + 1 *x \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich eine Punktprobe mit meinem Berührpunkt machen, allerdings bekomm ich das nicht hin unglücklich

$\begin{eqnarray*} 2 - e^{-0,5u} + u = \frac{1}{2} e^{-0,5u} + 1 * (u) + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 - e^{-0,5u} + u = \frac{1}{2}u e^{-0,5u} + 1 + b \end{eqnarray*}$

Jetzt alles auf eine Seite, da mach ich aber irgendwas falsch :-/ bzw. was kann ich zusammenfassen und was nicht? En Tipp wäre echt hilfreich :-)

Danke

13.03.2007, 17:13

Primzahl

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Sowie du die Geraden bestimmst ist das manchmal etwas umständlich. Man kann eine Gerade in der Ebene ganz leicht bestimmen, wenn man einen Punkt und die Steigung oder zwei Punkte kennt.
Bei dir wäre diese Formel hilfreich.

$\begin{eqnarray*} y-y_0=m*(x-x_0) \end{eqnarray*}$

m=Steigung; $\begin{eqnarray*} P_0(x_0;Y_0) \end{eqnarray*}$

13.03.2007, 17:18

Maddy

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Eine Gerade mit 2 Punkten zu bestimmen kann ich ja, aber bei der neuen Aufgabe wird eben nach der Gleichung mit x = u gefragt :-/

Eigentlich fand ich es recht einfach wie ich es aufstelle *g* Besteht ja eigentlich nur aus einer Ableitung von f(x), dann mit einer Punktprobe vom Berührpunkt, und dann noch eine Punktprobe mit dem Punkt wo die gerade durch soll :-)

Aber bei der neuen Aufgabe funktioniert das irgendwie nicht so ganz richtig, glaub ich irgendwie :-/

13.03.2007, 17:33

Primzahl

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mit deiner Möglichkeit kommst du aber auf 2 Variablen bzw. findest du b nicht heraus. nicht jede Gerade ist eine Ursprungsgerade, sodass du ganz leicht rausfindest was b ist.
aber du kannst ja x=0 setzen, dann weißt du ja was b ist. hab übrigens einen fehler bei dir gefunden. die steigung hast du nicht richtig mit x multipliziert.

13.03.2007, 20:27

Maddy

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Um b zu kriegen muss ich dann eben immer ne extra Punktprobe machen.

Bin aufs Ergebnis gekommen: t: y = 3/2x + 1 *g* Das ist alles smile

Trotzdem danke :-)

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