Integrale einfacher durch Keplersche Faßregel lösen

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Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »
Integrale einfacher durch Keplersche Faßregel lösen
Hi all, ich hab eine Frage aus meinem Mathe GK 12 und komme mit Kepler nicht weiter.

Vorneweg: Ich weiß was die Keplersche Faßregel ist, wie man sie anwendet und wie man ein Integral auch auf normalem Wege löst.

Was ich aber herausfinden soll:

Gegebene allgemeine Funktion:

Wie zeigt man das:



und wie beweist man, dass die Faßregel bis Gleichungen 3. Grades nicht nur nähert sondern genau löst und nur darüber noch nähert?

Ich hoffe jemand kann mir das verständlich erklären, selbst komm ich nicht drauf verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beweise das für die Funktionen getrennt. Den allgemeinen Fall für ein Polynom dritten Grades kannst du dann darauf zurückführen. Bei geht der Beweis so:


1. Berechnung mittels einer Stammfunktion




2. Berechnung mit der Keplerschen Faßregel






Die Faßregel liefert also sogar den korrekten Integralwert.
Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, eine ähnliche Vorgehensweise hatte ich auch im kopf aber beim 3. Grad bin ich gescheitert, das versteh ich nämlich nicht so ganz... und warum sollte es ab 4. grad nicht mehr genau gehen?

Aber danke, hast mir schon gut weitergeholfen smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kannst du beim dritten Grad an geeigneter Stelle die (bekannte) Faktorisierung



verwenden. Das könnte die Rechnung eine Spur übersichtlicher machen.
Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, wie meinst du das mit faktorisieren? Und das alleinige x muss ich ja eigentlich nicht extra beweisen, das erklärt sich ja von selbst
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte damit nur sagen, daß die von mir zitierte Formel beim Beweis für nützlich sein kann. Daß die Formel gilt, kannst du sofort durch Ausmultiplizieren der rechten Seite bestätigen.

Im übrigen brauchst du die Formel nicht. Wenn du nur genügend fleißig beim Ausmultiplizieren bist ...



Dann mal los!
 
 
Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »









sollte ich jetzt mit 8 multiplizieren? Ich schaff es nicht die formel vor der Klamer auf 1/4 zu bringen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schwerer Mißgriff: Binomische Formel mißachtet!



Aber ich würde dir auch gar nicht empfehlen auszumultiplizieren, sondern das Gegenteil zu machen: auszuklammern.



Und jetzt ausklammern:



Jetzt mußt du noch in der großen Klammer ausmultiplizieren (binomische Formel beachten!) und vereinfachen. Und dann ist das alles ja auch noch mit zu multiplizieren. Beachte auch hier die dritte binomische Formel: sowie .
Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »

Cool, danke für deine hilfe, 3. grades hab ich jetzt auch gelösst und bin auf gekommen.
Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hab ich jetzt alle 3 ersten, und das der 4. nicht genau sein kann, beweis ich einfach dadurch, dass das Ergebniss wäre und deshalb nicht genau sein kann
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

1.
Hast du auch an den Grad 0 gedacht: konstant?

2.
Hast du dir überlegt, wie man jetzt von diesen Spezialfällen auf den allgemeinen Fall eines Polynoms höchstens dritten Grades kommt: ?

3.
Dein Argument, warum das ab Grad 4 nicht mehr geht, verstehe ich nicht. Die einfachste Methode, eine Behauptung zu widerlegen, ist in der Mathematik immer noch ein Gegenbeispiel. Berechne etwa



a) mit einer Stammfunktion; b) mit der Keplerschen Faßregel.
Erdbeertee Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die Aufgabe jetzt fertig, danke nochmal für deine Hilfe smile
TH-_ Auf diesen Beitrag antworten »
Fassregel
Hallo ich habe eine Frage und zwar halte ich bald meine GfS über die Keplersche Fassregel und meine Lehrerin will folgendes von mir:
Suche auch ein Beispiel mit einem geeigneten Intervall, bei dem der Näherungswert sehr schlecht ist und veranschauliche dies.
Kann mir bitte jemand dabei helfen?
danke!smile
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