sechsmal Würfeln

01.10.2004, 18:45

navajo

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sechsmal Würfeln

Voll peinlich, der kleine Bruder von meiner Freundin hat mich wegen ner Stochastikaufgabe gefragt. Allerdings hatte ich das nie in der Schule (zumindest kann ich mich Null dran erinnern) und ich hab keinen Plan unglücklich

unglücklich

.

Zitat:

Alexander und Boris vereinbaren, einen Würfel zu werfen, bis die Augenzahl 6 erscheint, maximal wird sechsmal geworfen. Alexander zahlt einen Einsatz von 10 Cent pro Wurf.
Wie viel müsste Boris als Gewinnprämie an Alexander zahlen, wenn die 6 erscheint?

Also die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 6 würfelt müsste ja bei jedem Wurf 1:6 sein. Wenn er nur einmal würfeln würde, würde ich also sagen er bekommt bei einer sechs 60 Cent. Aber wie sieht das nun aus wenn man mehrmals würfelt?

(Bei Stochastik klafft bei mir echt eine riesige Wissenlüke unglücklich

unglücklich

)

01.10.2004, 19:44

Mathespezialschüler

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RE: sechsmal Würfeln

Zitat:

Original von navajo
Wenn er nur einmal würfeln würde, würde ich also sagen er bekommt bei einer sechs 60 Cent.

Die Wahrscheinlichkeit ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . Für nur einen Wurf gilt erstmal:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander gewinnt ist also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ , die für Boris ist $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ , also ist das Verhältnis ihrer Gewinnchancen 5:1. Er müsste also für einen Wurf nur 50 Cent bekommen!

Wie es für mehrere ist, überleg ich mir grad noch Idee!

Idee!

edit: Und die Idee ist mir gekommen: Wenn sie bis zum 6. Wurf weiterwürfeln würden, nachdem die 6 gekommen ist, wäre egal, was danach gewürfelt wird.
Es ist also die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei 6 mal Würfeln mindestens einmal die 6 dabei ist.
Wir müssen also alle möglichen Wurfausgänge nach 6 Würfen (also mit Berücksichtigung der Reihenfolge) bestimmen und dann die Wahlausgänge, wo mindestens eine 6 dabei ist.
Alle Wahlausgänge: Wir suchen alle Anordnungen von 6 Elementen, wobei 6 Elemente zur Verfügung stehen und jedes Element beliebig oft vorkommen kann. Das ist "Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge" (auch variation mit Wiederholung genannt). Kennst du die Berechnungen für Permutationen, Variationen, Kombinationen (Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Brücksichtigung der Reihenfolge)? Wenn nicht, dann sags mir und erklärs dir dann nochmal.
Also wir können es dann nach den Formeln berechnen. Es gibt dann genau $\begin{eqnarray*} 6^6=46656 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt alle Ausgänge bestimmen wollen, wo mind. eine 6 dabei ist, so können wir auch alle bestimmen, wo keine 6 dabei ist und das dann von allen abziehen.
Für keine 6, also für alle Ausgänge, wo die Zahlen 1-5 dabei sind, wobei jede Zahl beliebig oft vorkommen kann, gilt wie oben, dass es ein "Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung" ist. Es gibt dann $\begin{eqnarray*} 5^6=15625 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, wo keine 6 dabei ist.
Also gibt es $\begin{eqnarray*} 6^6-5^6=31031 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, dass mind. eine 6 dabei ist.
Das kann man auch direkt herleiten: Wir unterteilen "mind. eine 6" in "genau eine 6" + "genau 2 6en" + "genau 3 6en" + "genau 4 6en" + "genau 5 6en" + "genau 6 6en".
Genau eine 6: Für eine 6 gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die 6 zu würfeln. Es gibt außerdem dann noch für die anderen 5 Stellen jeweils (analog zu dem oben) $\begin{eqnarray*} 5^5 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Nach Produktregel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau eine 6"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 5^5 \end{eqnarray*}$

Genau zwei 6en: Für die zwei 6en gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten für die Anordnung auf den 6 "Wurfpositionen" (also 1. und 3. Wurf oder 4. und 5. Wurf ...). Außerdem gibt es für die restlichen Stellen nach dem gleichen Prinzip $\begin{eqnarray*} 5^4 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Wieder Produktregel:

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau zwei 6en"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 5^4 \end{eqnarray*}$

Analog dazu ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau drei 6en"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot 5^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau vier 6en"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 5^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau fünf 6en"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot 5^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau sechs 6en"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot 5^0 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau eine 6"}+\mbox{"genau zwei 6en"}+\mbox{"genau drei 6en"}+\mbox{"genau vier 6en"}+\mbox{"genau fünf 6en"}+\mbox{"genau sechs 6en"} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 5^5+\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot 5^4+\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot 5^3+\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 5^2+\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot 5^1+\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot 5^0=\sum_{k=1}^6~\begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix}\cdot 5^{6-k} \end{eqnarray*}$

Und wenn man das berechnet, bekommt man ebenfalls 31031, wie oben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Boris gewinnt ist somit

$\begin{eqnarray*} \frac{5^6}{6^6}\approx 0,334897976... \end{eqnarray*}$

Also die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander gewinnt

$\begin{eqnarray*} \frac{6^6-5^6}{6^6}=1-\frac{5^6}{6^6}\approx 0,665102023... \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, den Rest kannst du doch noch selber Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2004, 23:45

navajo

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RE: sechsmal Würfeln

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Wahrscheinlichkeit, dass Boris gewinnt ist somit

$\begin{eqnarray*} \frac{5^6}{6^6}\approx 0,334897976... \end{eqnarray*}$

Also die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander gewinnt

$\begin{eqnarray*} \frac{6^6-5^6}{6^6}=1-\frac{5^6}{6^6}\approx 0,665102023... \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, den Rest kannst du doch noch selber Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das bezweifle ich noch, dass ich das nun hinkriege Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also das Verhältnis der Gewinnchancen ist dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{6^6-5^6}{5^6}\approx1,98598\approx2 \end{eqnarray*}$

Also ist das Verhältnis ca 2:1. Also gewinnt der Alexander im Schnitt 2 von 3 Durchgängen.

Also wenn der Alex für jeden Durchgang 10Cent Einsatz bezahlt, dann bekommt er 5Cent zusätzlich wenn er gewinnt.

Aber er muss ja für jeden Wurf blechen, wie macht man das denn nun? verwirrt

verwirrt

Bis jetzt haben wir, ja noch keine Wahrscheinlichkeit bei dem wievielten Wurf er gewinnt, oder? Das müsste ja auch noch wichtig sein. verwirrt

verwirrt

Achja:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Genau eine 6: Für eine 6 gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, die 6 zu würfeln. Es gibt außerdem dann noch für die anderen 5 Stellen jeweils (analog zu dem oben) $\begin{eqnarray*} 5^5 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Nach Produktregel ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mbox{"genau eine 6"}=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot 5^5 \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wie du das meinst mit den 5^5 Möglichkeiten die noch dazu kommen. Also wenn ein Wurf ne 6 ist und die anderen nicht, dann ist klar, dass es 5^5 Möglichkeiten gibt wie die anderen liegen. (Weil 5 andere Felder und 5 Würfel). Hmm oder hab ichs doch verstanden? :P kA verwirrt

verwirrt

Naja und was ist das für eine Produktregel?

Jaja die Stochastik ist schon ein Kreuz Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2004, 23:52

Mathespezialschüler

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RE: sechsmal Würfeln

Zitat:

Original von navajo
Aber er muss ja für jeden Wurf blechen, wie macht man das denn nun? verwirrt

verwirrt

Bis jetzt haben wir, ja noch keine Wahrscheinlichkeit bei dem wievielten Wurf er gewinnt, oder? Das müsste ja auch noch wichtig sein. verwirrt

verwirrt

hhhm, ich wünschte, darüber hätte ich auch noch nachgedacht. :P
Also dazu krieg ich glaub ich heut nichts mehr hin und sogut kenn ich mich da auch nich aus. Also da müssten wir dann mal auf nen Experten warten Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.10.2004, 00:06

navajo

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RE: sechsmal Würfeln

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Also da müssten wir dann mal auf nen Experten warten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hehe, die Aufgabe ist aus ner 8ten Klasse, irgentwie deprimierend oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bestimmt wollen die damit auf irgentwas anderes, ganz einfaches hinaus. Ich hab jedenfalls sicher nicht in der 8ten sowas gemacht :P.

02.10.2004, 00:17

Mathespezialschüler

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RE: sechsmal Würfeln

Zitat:

Original von navajo
Hehe, die Aufgabe ist aus ner 8ten Klasse, irgentwie deprimierend oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

geschockt

8. Klasse. :P
Aber deprimierend is es nich unbedingt. Ich hatte ja in ner Schule noch kein Stochastik. Nur Kombinatorik hab ich halt selbst gelernt (aus Interesse und Langeweile).
Ich denke, es gibt wohl nen einfacheren Lösungsweg. :P
Na mal sehen, wann der hier kommt.

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02.10.2004, 20:52

Mathespezialschüler

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Also erstmal zur Produktregel: Nehmen wir "genau 2 6en" als Beispiel:
Wir müssen dazu alle möglichen Wurfergebnisse mit Berücksichtigung der Reihenfolge bestimmen.
Es gibt genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mögliche Anordnungen für die 2 6en, das sind nämlich (die Zahlen bezeichnen den Wurf, also 1 2 ist 1. und 2. Wurf):

1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
2 3
2 4
2 5
2 6
3 4
3 5
3 6
4 5
4 6
5 6

Die Reihenfolge ist hier egal, da "Augenzahl 6"="Augenzahl 6" ist ( :P).

Für die anderen vier Würfe gibt es dann jeweils $\begin{eqnarray*} 5^4 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, denn wir haben 4 Stellen und 5 zahlen, die sie belegen können. Für jede der oben angegebenen Reihenfolgen gibt es aber diese $\begin{eqnarray*} 5^4 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Oben haben wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Jetzt ist dir hoffentlich klar, dass wir einfach nur multiplizieren müssen, um alle Möglichkeiten zu erfassen.
Ganz ähnlich ist es dann auch bei Wahrscheinlichkeiten, was wir gleich brauchen. Wenn wir eine Wahrscheinlichkeit haben, dass beim 1. Wurf etwas nicht passiert, und eine, dass beim 2. aber etwas passiert, dann müssen wir für die gesamte Wahrscheinlichkeit beide Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Du wirst es gleich nochmal an nem Zahlenbeispiel sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt nochmal zum eigentlichen Problem: Vergiss erstmal meinen ersten Beitrag, der war wirklich zu kompliziert und hat uns nicht richtig weitergebracht.

Also die Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Wurf eine 6 kommt, ist ja ganz einfach $\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim 2. Wurf erst ne 6 kommt, wird so berechnet (Jetzt kommt die grad angesprochene Produktregel der Wahrscheinlichkeiten zum tragen):
(Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Wurf keine 6 kommt)*(Wahrscheinlichkeit, dass beim 2. Wurf eine 6 kommt)
Und das ist:

$\begin{eqnarray*} P=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit für die 6 beim 3. Wurf:

(Wahrscheinlichkeit, dass beim 1. Wurf keine 6 kommt)*(Wahrscheinlichkeit, dass beim 2. Wurf keine 6 kommt)*(Wahrscheinlichkeit, dass beim 3. Wurf eine 6 kommt)

$\begin{eqnarray*} P=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Analog erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten für den 4., 5., und 6. Wurf und insgesamt:
1. Wurf: $\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

2. Wurf: $\begin{eqnarray*} P=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{6^2} \end{eqnarray*}$

3. Wurf: $\begin{eqnarray*} P=\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{5^2}{6^3} \end{eqnarray*}$

4. Wurf: $\begin{eqnarray*} P=\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot \frac{1}{6}=\frac{5^3}{6^4} \end{eqnarray*}$

5. Wurf: $\begin{eqnarray*} P=\left(\frac{5}{6}\right)^4\cdot \frac{1}{6}=\frac{5^4}{6^5} \end{eqnarray*}$

6. Wurf: $\begin{eqnarray*} P=\left(\frac{5}{6}\right)^5\cdot \frac{1}{6}=\frac{5^5}{6^6} \end{eqnarray*}$

Wenn wir die addieren, erhalten wir (beachte die geometrische Summe):

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{6}\cdot \frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^6}{1-\frac{5}{6}}=1-\left(\frac{5}{6}\right)^6 \end{eqnarray*}$

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander gewinnt (es ist die gleiche, die ich auch in meinem ersten Post hatte!).
Die Wahrscheinlichkeit, dass Boris gewinnt, ist

$\begin{eqnarray*} P=1-\left(1-\left(\frac{5}{6}\right)^6\right)=\left(\frac{5}{6}\right)^6 \end{eqnarray*}$

Das können wir auch anders herleiten: Boris gewinnt, wenn keine 6 kommt. Die Wahrscheinlichkeit ist wieder nach Produktregel:

$\begin{eqnarray*} P=\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^6 \end{eqnarray*}$

Also das dazu. Jetzt wissen wir sogar, wie die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn Alexanders nach den jeweiligen Würfen ist. Ich muss nur noch überlegen, wie ich das in die Sache mit dem Geld mit einbringe. (Überleg mal mit!!) Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.10.2004, 12:08

Anirahtak

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Hallo ihr zwei,

ich hätte da schon eine Idee, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden hab.

Also ich habe zwei Spieler A und B.
A wettet, dass bei den 6 Würfen mindestens eine 6 dabei ist, und B wettet dagegen.

Jetzt werden die Würfel aber nicht gleichzeitig geworfen, sondern hintereinander, vom Ausgang des vorherigen Wurfes abhängig.

A muss pro Wurf 10 Cent zahlen, und jetzt soll berechnet werden, was er erhalten soll wenn eine 6 fällt, damit das Spiel fair ist.
Und wenn keine 6 fällt, verfällt der Einsatz.

Stimmt das so?

Gruß
Anirahtak

04.10.2004, 12:10

Mathespezialschüler

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Ja, richtig!
Ich hab da jetzt grad was in meinem tafelwerk von Erwartungswert gelesen, weiß aber nich ob es das is, was man anwenden muss. verwirrt

verwirrt

04.10.2004, 12:33

Anirahtak

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Hallo.

Also dann mal los.

Genau, der Erwartungswert ist genau das was hier gebracht wird.

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert vom Gewinn 0 ist.

Z sei die Zufallsvariable "Gewinn" von A, und x der unbekannte Wert, den A ausgezahlt bekommt.

Z hat 7 verschiedene Ausprägungen:

"x-10" - nämlich wenn im ersten Wurf ne 6 geworfen wurde. P("x-10")=1/6
"x-20", wenn im ersten Wurf keine 6, dafür aber im zweiten Wurf. P("x-20")=5/6*1/6
"x-30" bei der 6 im dritten Wurf.
...
"x-60" bei der 6 im sechten Wurf
"-60", wenn es keine 6 gibt.

$\begin{eqnarray*} z_i \end{eqnarray*}$ seinen die verschiedenen Möglichkeiten.

Es soll nun also gelten E(Z)=0

$\begin{eqnarray*} E(Z)=\sum^7_{i=1} z_i \cdot P(z_i)=(x-10)\cdot\frac{1}{6}+(x-20)\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}+\ldots +(x-60)\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5\cdot \frac{1}{6}-60\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6 \end{eqnarray*}$

Das ganzen nun =0 gesetzt und nach x aufgelöst liefert das Ergebnis.

Gruß
Anirahtak

04.10.2004, 12:51

Mathespezialschüler

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Achso, nagut. Dazu brauch ich wohl noch n bißchen Theorie in der WKrechnung.
Aber hast du da jetzt nicht Cent und Euro vertauscht? (erst 10, 20 und dann am Ende 0,6) Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Ich bekomm für x raus, dass x=0,6 Euro (genau 0,6).

04.10.2004, 12:57

Anirahtak

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Hab's verbessert. Danke. Das kommt davon, wenn man in den eigenen Überlegungen Euros verwendet, und sich dann aber beim Schreiben an die vorheringen Beiträge anpassen will.

Gruß
Anirahtak

04.10.2004, 13:07

Mathespezialschüler

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Geht eigentlich auch der Ansatz

$\begin{eqnarray*} 0,1\cdot \frac{1}{6}+0,2\cdot \frac{5}{6^2}+0,3\cdot \frac{5^2}{6^3}+0,4\cdot \frac{5^3}{6^4}+0,5\cdot \frac{5^4}{6^5}+0,6\cdot \frac{5^5}{6^6}=\frac{5^6}{6^6}\cdot x \end{eqnarray*}$

?? Irgendwie bekomm ich da nich genau 0,6, sondern 0,5915904 verwirrt

verwirrt

edit: Oder muss ich hier die linke Seite auch mit 0,6 multiplizieren? Also:

$\begin{eqnarray*} 0,1\cdot \frac{1}{6}+0,2\cdot \frac{5}{6^2}+0,3\cdot \frac{5^2}{6^3}+0,4\cdot \frac{5^3}{6^4}+0,5\cdot \frac{5^4}{6^5}+0,6\cdot \frac{5^5}{6^6}=0,6\cdot \frac{5^6}{6^6}\cdot x \end{eqnarray*}$

04.10.2004, 13:14

Anirahtak

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Hallo MSS,

leider kann ich aus der Gleichung deine Überlegung/Idee/Ansatz nicht erkennen.

Könntest du das vielleicht ein wenig genauer ausführen?

Gruß
Anirahtak

04.10.2004, 13:20

Mathespezialschüler

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Naja, ich hab jetzt einfach mal so n bißchen überlegt und dabei ist das rausgekommen. Was haben denn die x bei dir eigentlich bei den Würfen 1-6 zu suchen? Also wie kommt du darauf:

Zitat:

Original von Anirahtak

Z hat 7 verschiedene Ausprägungen:

"x-10" - nämlich wenn im ersten Wurf ne 6 geworfen wurde. P("x-10")=1/6
"x-20", wenn im ersten Wurf keine 6, dafür aber im zweiten Wurf. P("x-20")=5/6*1/6
"x-30" bei der 6 im dritten Wurf.
...
"x-60" bei der 6 im sechten Wurf
"-60", wenn es keine 6 gibt.

??

verwirrt

edit: Kann es sein, dass ich bei meinem Ansatz die Rollen von Alexander und Boris vertauscht habe?

04.10.2004, 13:28

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Anirahtak
Z sei die Zufallsvariable "Gewinn" von A, und x der unbekannte Wert, den A ausgezahlt bekommt.

04.10.2004, 13:33

Mathespezialschüler

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Ich kann lesen Big Laugh

Big Laugh

Mir war nur nich klar, was z.B. beim ersten Wurf "x-10" darstellen soll, aber das is ja einfach die Gewinnsumme (also ich meine, das, was er gewinnen würde, wenn beim ersten Wurf die 6 käme). :P

04.10.2004, 13:54

Anirahtak

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Hallo,

das x soll ja konstant sein, d. h. unabhängig davon, wann die 6 fällt.

Ob man das von A oder B aus betrachtet ist egal, denn für B ergibt sich als Erwartungswert -E(Z) und da das =0 gesetzt wird, ist das egal.

Ich hab also die verschiedenen Gewinnmöglichkeiten aufgelistet und mir die Wahrscheinlichkeiten für ihr eintreten überlegt.

Hast du's jetzt verstanden? Und ist damit dein Ansatz hinfällig?

Gruß
Anirahtak

04.10.2004, 14:06

Mathespezialschüler

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Ja, jetzt ist klar. Ich werd mir demnächst mal den Stochastikteil meines Buches anschauen. Hab ja jetzt zwei Wochen (Ferien) Zeit. Big Laugh

Big Laugh

04.10.2004, 14:38

Anirahtak

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Dann wünsche ich viel Spaß dabei!

Und falls doch mal Fragen aufkommen sollten, kannst du dich ja melden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß
Anirahtak

05.10.2004, 00:12

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich kann lesen Big Laugh

Big Laugh

Sollte keine Beleidigung sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fand bloss, dass das halt alles erklärt. Bist ja dann auch selbst drauf gekommen.

Gruß vom Ben

05.10.2004, 00:13

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich kann lesen Big Laugh

Big Laugh

Sollte keine Beleidigung sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das war mir auch klar, ich wollt halt nur n kleines Späßchen machen Big Laugh

Big Laugh

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