inhomogene diffgl. lösen via jordan

02.10.2004, 14:26

Borack

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inhomogene diffgl. lösen via jordan

hallo

also folgende aufgabe:

x' = -y+z-t^2-4
y' = -3x-2y+3z+3cos(t)
z' = -2x-2y+3z+ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

läst sich bekannterweise folgendermassen schreiben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^2 -4 \\ 3cos(t) \\ \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

habs also in der form x'=Ax+b

nun bestimme ich die eigenwerte. bin auf $\begin{eqnarray*} \lambda = 1,-1 \end{eqnarray*}$ gekommen.

über die kerne bestimme ich $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ und S und schliesslich die JordanNormalform.

Ich löse das homogene System für Jordan und transformiere vie A = $\begin{eqnarray*} S^{-1}J \end{eqnarray*}$ zurück.

.. also erst mal soweit. . das sollte vom vorgehen her stimmen oder? .. jetzt erst mal das homogene system.

02.10.2004, 14:47

navajo

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Das Jordanzeugs muss ich auch noch lernen. unglücklich

unglücklich

Also soweit ich weiss, ist die homogene Lösung gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} x(t)=x_0e^{(t-t_0)A} \end{eqnarray*}$
Und du willst die Matrix A jetzt in Jordannormalform bringen, damit du das $\begin{eqnarray*} e^{(t-t_0)A} \end{eqnarray*}$ berechnen kannst, oder?

Wie muss denn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aussehen? Packt man da ne Basis aus Eigenvektoren rein? (Aber mit ner Basis aus Eigenvektoren diagonalsiiert man doch eigentlich? verwirrt

verwirrt

) Ich versuch mich einfach auch mal an der Aufgabe und gucke ob ich auf dasselbe komme. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Das erste Ergebenis was ich raus hatte, war leider keine Lösung der dgl unglücklich

unglücklich

.

EDIT2: Also ich habs jetzt über die Diagonalmatrix gemacht und hab damit auch ne Lösungmatrix rausgekriegt. Wo der Unterschied zu der Berechnung über die Jordanmatrix ist, versteh ich nicht unglücklich

unglücklich

.

02.10.2004, 16:15

Borack

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Zitat:

Also soweit ich weiss, ist die homogene Lösung gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} x(t)=x_0e^{(t-t_0)A} \end{eqnarray*}$

hmm.. nein, ich versuchs nicht über diese 'allgemeine' variante.

Ich suche Jordannormalform J mithilfe von $\begin{eqnarray*} J=SAS^{-1} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ die eigenvektoren von A sind ( einzelne vektoren in spalten eingefügt)
daraus kann ich S bestimmen und schliesslich J.
J bestimme ich auf diesem mühsamen weg weil ich danach wieder $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ zur rücktransformation von J => A benötige.
Das System J kann ich viel einfacher lösen als A:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(oder so ähnlich, hier mit $\begin{eqnarray*} \lambda = 1, -1 \end{eqnarray*}$ und dementsprechend in der oberen diagonalen nicht überall 1

hmm.. aber jetzt brauch ich erst mal ne pause.. ich schau morgen weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.10.2004, 16:28

navajo

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Zitat:

Original von Borack
Ich suche Jordannormalform J mithilfe von $\begin{eqnarray*} J=SAS^{-1} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ die eigenvektoren von A sind ( einzelne vektoren in spalten eingefügt)
daraus kann ich S bestimmen und schliesslich J.

Also ich habs auch so gemacht, nur wenn ich in $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren rein packe, dann ist bei mir $\begin{eqnarray*} SAS^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix und nicht in Jordanform. (In meinem Script steht auch drin, dass man da Eigenvektoren rein packen soll und dass man dann ne Jordanmatrix bekommt, aber in LA hab ich gelernt, dass ich dann ne Diagonalmatrix bekomme. verwirrt

verwirrt

)

Naja vll mal zum Vergleich: Mein $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ schaut so aus:

$\begin{eqnarray*} S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0& 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mein J sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} J=SAS^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also keine Jordanmatrix unglücklich

unglücklich

Naja aber damit kann man ja ganz schnell $\begin{eqnarray*} x_0e^{Jt} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Und die Lösung mal $\begin{eqnarray*} S^-1 \end{eqnarray*}$ müsste dann ja die Lösung des homogene Systems sein.

btw: Für die inhomegene Gleichung krieg ich irgentwie was ganz häßliches raus.

04.10.2004, 16:58

Borack

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hmm. doch das ist eine jordan matrix! das stimmt schon.
bei jordan muss es nicht zwingend 1über der hauptdiagonalen haben, das ist abhängig von den jordanblöcken. hier haben wir 3jordanblöcke mit je länge 1, also ist die jordanmatrix eine diagonalmatrix.
und die jordan matrix stimmt auch so, hab das soeben mit maple nachgeprüft, ausser das bei maple der eigenwert -1 zuerst kommt, aber das kommt ja meines wissens darauf an, welche eigenvektoren man zuerst in $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ packt.
ich bin momentan grad noch an etwas anderem, werd aber voraussichtlich heut nacht oder morgen wieder darauf zurückkommen.

(hmm hast du den fischer... nur so nebenbei smile

smile

)

04.10.2004, 17:19

navajo

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Zitat:

Original von Borack
(hmm hast du den fischer... nur so nebenbei smile

smile

)

Oh stimmt den hab ich ja auch noch, da müsste ja auch noch was über Jordan drinstehen. Da mach ich mich mal bei Gelegenheit schlau Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Hmm eigentlich ist die Gelegenheit da, aber wo steckt die Lust? :P)

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04.10.2004, 17:27

Borack

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Zitat:

Original von navajo
Da mach ich mich mal bei Gelegenheit schlau Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Hmm eigentlich ist die Gelegenheit da, aber wo steckt die Lust? :P)

.. oh ja.. geht mir genauso. .. aber ich muss muss muss unglücklich

unglücklich

05.10.2004, 02:10

Borack

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also, hab mal heut noch die homogene diffgl. gelöst. habe die gleiche jordanmatrix, mein $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ sieht zwar ein bisschen anders aus, aber das kommt weil ich andere eigenvektoren genommen haben.

also die lösung der homogenen diffgl. sieht bei mir folgendermassen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}'= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_2e^t+c_3e^{-t} \\ c_1e^t+3c_3e^{-t} \\ c_1e^t+c_2e^t +2c_3e^{-t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

inhomogen mag ich jetzt nicht mehr. mach ich morgen. nacht.

05.10.2004, 09:59

navajo

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Also ich hab als Lösungsbasis raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^t \\ 0 \\ e^t \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -e^t \\ e^t \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} e^{-t} \\ 3e^{-t} \\ 2e^{-t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ein bisschen was anderes als du, aber ich hoffe es ist trotzdem auch richtig smile

smile

. Zumindest sind das alles Lösungen (Wenn ich mich bei der Probe nicht verrechnet habe) und die Wronskideterminante ist auch ungleich 0, bzw kleiner 0.

Irgentwo hab ich die Inhomogene Gleichung schon mal gerechnet gehabt, aber der Zettel ist verschwunden :P.

Edit(Gefunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

Zum vergleich vll mal die erste Komponente von meiner inhomogenen Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(3cos(t)-3sin(t)+2(t^2+2t-2(\pi+1))\right)e^{-t} \end{eqnarray*}$

06.10.2004, 13:18

Borack

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Zitat:

Original von navajo
btw: Für die inhomegene Gleichung krieg ich irgentwie was ganz häßliches raus.

ohhhh...ja!! und wie.

ich krieg für die erste zeile:

$\begin{eqnarray*} e^{-t}\frac{3}{2}t^2+3te^{-t}+e^{-t}(-9+\frac{3}{4}(cos(t)-sin(t))-\frac{3\pi}{2})+\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

06.10.2004, 14:18

navajo

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Wie hast du deins denn gerechnet? Ich hab bei meinem nochmal die Probe gemacht, aber ist wohl leider falsch unglücklich

unglücklich

. Dann hab ich nochmal gerechent, und was anderes rausgekriegt aber auch falsch :P.

Mein Ansatz war:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1'x_1+\lambda_2'x_2+\lambda_3'x_3=b(t) \end{eqnarray*}$

Also x_i sind die Lösungsbasis und die lambda hab ich dann durch lösen des Gleichungssystems (und danach integrieren) bestimmt.

Dann sollte das hier eigentlich eine partikuläre Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} v(t)=\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3 \end{eqnarray*}$

Naja aber wie schon gesagt, was rauskommt passt irgentwie nicht unglücklich

unglücklich

07.10.2004, 13:01

Borack

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hmm, die aufgabe ist wirklich sehr sehr unschön, und wahrscheinlich nur gemacht worden um den studenten den tag zu versauen. X(

ich hab jetzt eine andere aufgabe, eine schönere aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

durchgerechnet.

x'=Ax+b

$\begin{eqnarray*} A:= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} , b:= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ e^t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die ist wirklich viel schöner und alles geht wunderbar auf. also wenn du noch lust hast dich an einer anderen zu probieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.10.2004, 14:00

navajo

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Ich probier mich mal dran, aber ich hab schon das erste problem unglücklich

unglücklich

:

Also erstmal hab ich Eigentwerte bestimmt, da gibts nur $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ .

Aber es gibt nur maximal 2 linear unabhängige Eigenvektoren. Meine sind:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nach dem was ich mir über die Jordanmatrix zusammengereimt habe, bestimme ich die Dritte Spalte von meinem $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ zB durch das Gleichungsystem (kA Warum :P):

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E_3)=v_1 \end{eqnarray*}$

Naja jedenfalls hab ich als Lösung:

$\begin{eqnarray*} v_3=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sieht mein $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ so aus:
$\begin{eqnarray*} S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 &0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann:

$\begin{eqnarray*} A'=S\cdot A \cdot S^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist die Lösung gegeben durch $\begin{eqnarray*} e^{A't} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e^{A't}=e^t\exp{\begin{pmatrix}0 & 0 & t\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}=e^t\left({\begin{pmatrix}0 & 0 & t\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}^0+{\begin{pmatrix}0 & 0 & t\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}^1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{A't}=\begin{pmatrix} e^t & 0 & te^t\\0 & e^t & 0\\0 & 0& e^t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Argh hups ich seh meinen Fehler schon selbet :P

Also meine Homogene Lösung ist dann:
$\begin{eqnarray*} S^{-1}e^{A't}S=\begin{pmatrix}(1-2t)e^t & 0 & 2te^t\\ 2te^t & e ^t & -2te^t \\ -2te^t & 0 & (2t+1)e^t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die scheint ausnahmsweise mal zu passen, jedenfalls löst die die Dgl und die Wronskideterminante ist grösser als 0. 8)

Naja mal sehen ob ich die Inhomogene auch noch hinkrieg.

EDIT: Meine Partikuläre Lösung ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}t^2e^t\\-te^t\\t(t+1)e^t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.10.2004, 00:58

Borack

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hmm also, der Eigenwert 1 stimmt. die eigenvektoren stimmen so weit ich sehe , auch. der dritte eigenvektor kann einfach bestimmt werden, wenn keiner mehr aus dem kern(A- $\begin{eqnarray*} \lambda Idv \end{eqnarray*}$ ) oder kern(A-(A- $\begin{eqnarray*} \lambda Idv)^2 \end{eqnarray*}$ , er muss allerdings linear unabhängig sein zu den anderen zweien.
(schau dir doch dazu mal folgenden text an: www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf den find ich wirklich sehr gut)

Bei der Jordan Matrix ist dir wohl nen Fehler unterlaufen, das ist keine Jordan Matrix. unglücklich

unglücklich

hmm, und die lösung zur homogenen diffgl. sieht bei mir folgendermassen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2e^t & 2te^t \\ e^t & -2e^t & -2te^t \\ 0 & 2e^t & 2te^t+e^t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

edit: deine jordanmatrix müsste wohl folgendermassen aussehen, wenn ich mich nicht täusche:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.10.2004, 08:31

navajo

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Zitat:

Bei der Jordan Matrix ist dir wohl nen Fehler unterlaufen, das ist keine Jordan Matrix. unglücklich

unglücklich

Naja macht ja nichts, hauptsache ich hab ne Matrix mit der ich einfach $\begin{eqnarray*} e^{A't} \end{eqnarray*}$ berechnen kann. Nach meiner Probe ist mein Ergebnis ne Fundamentalmatrix. Bis auf einer Spalte sieht die ja auch genau so aus wie deine. Und die Unterschiedliche Spalte kann man durch aufaddieren von den anderen Spalten bestimmt auch noch gleich kriegen.

Jetzt ist es leider zu spät um die Jordanmatrix noch komplett zu verstehen. Um 9:30 fängt meine Prüfung nämlich an *zitter*.

EDIT: Hurra, ich hab ne 2. smile

smile

(Bin nur über ein paar Theorie Fragen gestolpert, zB "Warum hat der Lösungsraum der Homogenen Gleichung die Dimension n", und bei lokaler Lipschitzstetigkeit stand ich bei den offenen Umgebungen auf dem Schlauch, und son paar Rechenunsicherheiten bei Ungleichungen und Komplexen Zahlen. Aber ich bin mit ner 2 zuffrieden :dance smile

smile

09.10.2004, 10:44

Borack

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wow, gratuliere!

kam wohl doch noch alles gut smile

smile

)

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