Verteilung

12.03.2007, 21:27	Parabelflug	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Gegeben seien $\begin{eqnarray} \left( Z_{i} \right)_{i \geq 1} \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilte $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ Zufallsgrößen. Man definiere: $\begin{eqnarray} X_{t} := \beta_{0} Z_{t} + \beta_{1} Z_{t-1} + \beta_{2} Z_{t-2} + ... + \beta_{q} Z_{t-q} \end{eqnarray}$ Man soll nun die exakte Verteilung von $\begin{eqnarray} X_{t} \end{eqnarray}$ angeben. Ok, ich weiß dass die Summe von normalverteilten Zufallsgrößen wieder normalverteilt sind, deshalb würde ich folgende Verteilung angeben: $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,q+1) \end{eqnarray}$ Ich bin mir allerdings nicht sicher ob das so stimmt, könnte mir da jemand helfen? Vielen Dank.
13.03.2007, 10:12	krümmel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilung ich habe soetwas schon mal in einem buch zur "zeitreihenanalyse" von schlittgen und streitberg (weiß nicht, ob die so geschrieben werden) gelesen. da ging es um ARMA prozesse. und genau deine summe in verbindung mit einem white-noise-prozess war dort zu sehen. allerdings kann ich mich nicht mehr an die verteilung erinnern. aber vielleicht kannst du ja über den ARMA prozeß etwas in erfahrung bringen.
13.03.2007, 10:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei einfache Regeln: (1) Wenn $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine Konstante, dann ist $\begin{eqnarray} \lambda X\sim\mathcal{N}(\lambda\mu,\lambda^2\sigma^2) \end{eqnarray}$ . (2) Wenn $\begin{eqnarray} X_1\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X_2\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2) \end{eqnarray}$ und beide voneinander unabhängig, dann gilt $\begin{eqnarray} X_1+X_2\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) \end{eqnarray}$ . Durch mehrfache Anwendung dieser Regeln lässt sich deine Aufgabe lösen. Bei (2) ist aufzupassen, dass die Varianzen zu addieren sind, nicht die Standardabweichungen - ich weise drauf hin, weil das ein beliebter Fehler bei der Anwendung von (2) ist.
13.03.2007, 11:43	Parabelflug	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Dann sollte die Verteilung wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,\sum_{i=0}^{q} \beta_{i}^2) \end{eqnarray}$ Das sollte doch stimmen, oder?
13.03.2007, 11:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.

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